A matriz de rotação (no sentido anti-horário) de ângulo
é dada por
. Mostre que a inversa de
é a transposta:
. Matrizes com esta propriedade são chamadas de matrizes ortogonais.
Passo 1
O enunciado dá a matriz de rotação (no sentido anti-horário) de ângulo
:
e pede para mostrar que a inversa de
é a transposta, isto é, provar que
Informações relevantes fornecidas:
está explicitamente dada por suas entradas trigonométricas.
O que devemos provar é uma igualdade entre matrizes (a inversa e a transposta).
Lembrete necessário (será usado mais adiante): a identidade .]
O que devemos provar é uma igualdade entre matrizes (a inversa e a transposta).
Lembrete necessário (será usado mais adiante): a identidade
Passo 2
Vou lembrar o que significa “transposta” e “inversa” e como usaremos essas definições na prova, explicando de forma bem simples.
Definição de transposta: a transposta de uma matriz é obtida trocando linhas por colunas. Para a matriz
a transposta é
porque a primeira coluna de
vira a primeira linha de
, e a segunda coluna vira a segunda linha.
Definição de inversa: uma matriz
é inversa de
quando
onde
é a matriz identidade
:
Para provar que
é a inversa de
basta mostrar que
(para matrizes quadradas, mostrar um lado já garante que é inversa única, mas por completude também posso mostrar os dois produtos).]
Passo 3
Vamos calcular o produto
passo a passo. Escrevo as matrizes:
Multiplicar duas matrizes
segue a regra “linha vezes coluna” para cada entrada. Vou calcular cada entrada da matriz produto.]
Passo 4
Cálculo das entradas de
:
Entrada (1,1): produto da primeira linha de
pela primeira coluna de
:
Usando a identidade trigonométrica básica
, obtemos
Entrada (1,2): produto da primeira linha de
pela segunda coluna de
:
Entrada (2,1): produto da segunda linha de
pela primeira coluna de
:
Entrada (2,2): produto da segunda linha de
pela segunda coluna de
:
Portanto o produto resulta na matriz
Passo 5
Por completude, faço também o produto na ordem inversa
(o cálculo é análogo e dá o mesmo resultado):
Entrada (1,1):
Entrada (1,2):
Entrada (2,1):
Entrada (2,2):
Assim
Ter
e
significa exatamente que
é a inversa de
.
Passo 6
Conclusão algebraica: como encontramos uma matriz que multiplicada por
(à esquerda e à direita) dá a identidade, essa matriz é a inversa. Logo
Passo 7
Comentário geométrico (intuição extra, útil na prova): a rotação de ângulo
tem inversa igual à rotação de ângulo
(girar para frente e depois para trás anula a rotação). Escrevendo a matriz de rotação de
,
onde usei
e
. Observe que
. Assim a inversa (que é
) coincide com a transposta — ótima checagem geométrica da igualdade que demonstramos algebricamente.]
Passo 8
Comentário final sobre ortogonalidade: matrizes cuja inversa é igual à transposta são chamadas de matrizes ortogonais. Para
isso ocorre porque suas colunas são vetores unitários e mutuamente ortogonais:
primeira coluna tem norma
, segunda coluna
tem norma
, e o produto interno entre elas é
. Essa propriedade leva diretamente a
.
primeira coluna