A matriz de rotação (no sentido anti-horário) de ângulo \alpha é dada por R_{\alpha}=\left[\begin{array}{cc}\cos \alpha & -\sin \alpha \\\ \sin \alpha & \cos \alpha\end{array}\right]. Mostre que a inversa de R_{\alpha} é a transposta: R_{\alpha}{ }^{-1}=R_{\alpha}{ }^{t}. Matrizes com esta propriedade são chamadas de matrizes ortogonais.

Passo 1

O enunciado dá a matriz de rotação (no sentido anti-horário) de ângulo \alpha:
R_{\alpha}=\begin{pmatrix}\cos\alpha & -\sin\alpha \\[4pt] \sin\alpha & \cos\alpha\end{pmatrix}
e pede para mostrar que a inversa de R_{\alpha} é a transposta, isto é, provar que
R_{\alpha}^{-1} = R_{\alpha}^{t}.
Informações relevantes fornecidas:
\;R_{\alpha} está explicitamente dada por suas entradas trigonométricas.
O que devemos provar é uma igualdade entre matrizes (a inversa e a transposta).
Lembrete necessário (será usado mais adiante): a identidade \cos^{2}\alpha+\sin^{2}\alpha=1.]

Passo 2

Vou lembrar o que significa “transposta” e “inversa” e como usaremos essas definições na prova, explicando de forma bem simples.
Definição de transposta: a transposta de uma matriz é obtida trocando linhas por colunas. Para a matriz R_{\alpha} a transposta é
R_{\alpha}^{t} = \begin{pmatrix}\cos\alpha & \sin\alpha \\[4pt] -\sin\alpha & \cos\alpha\end{pmatrix},
porque a primeira coluna de R_{\alpha} vira a primeira linha de R_{\alpha}^{t}, e a segunda coluna vira a segunda linha.
Definição de inversa: uma matriz B é inversa de A quando
A B = B A = I,
onde I é a matriz identidade 2\times 2:
I=\begin{pmatrix}1 & 0 \\[4pt] 0 & 1\end{pmatrix}.
Para provar que R_{\alpha}^{t} é a inversa de R_{\alpha} basta mostrar que R_{\alpha}R_{\alpha}^{t}=I (para matrizes quadradas, mostrar um lado já garante que é inversa única, mas por completude também posso mostrar os dois produtos).]

Passo 3

Vamos calcular o produto R_{\alpha}R_{\alpha}^{t} passo a passo. Escrevo as matrizes:
R_{\alpha}=\begin{pmatrix}\cos\alpha & -\sin\alpha \\[4pt] \sin\alpha & \cos\alpha\end{pmatrix}, \qquad R_{\alpha}^{t}=\begin{pmatrix}\cos\alpha & \sin\alpha \\[4pt] -\sin\alpha & \cos\alpha\end{pmatrix}.
Multiplicar duas matrizes 2\times2 segue a regra “linha vezes coluna” para cada entrada. Vou calcular cada entrada da matriz produto.]

Passo 4

Cálculo das entradas de R_{\alpha}R_{\alpha}^{t}:
Entrada (1,1): produto da primeira linha de R_{\alpha} pela primeira coluna de R_{\alpha}^{t}:
(\text{1,1}) = \cos\alpha\cdot\cos\alpha + (-\sin\alpha)\cdot(-\sin\alpha) = \cos^{2}\alpha + \sin^{2}\alpha.
Usando a identidade trigonométrica básica \cos^{2}\alpha+\sin^{2}\alpha=1, obtemos
(\text{1,1}) = 1.
Entrada (1,2): produto da primeira linha de R_{\alpha} pela segunda coluna de R_{\alpha}^{t}:
(\text{1,2}) = \cos\alpha\cdot\sin\alpha + (-\sin\alpha)\cdot\cos\alpha = \cos\alpha\sin\alpha - \sin\alpha\cos\alpha = 0.
Entrada (2,1): produto da segunda linha de R_{\alpha} pela primeira coluna de R_{\alpha}^{t}:
(\text{2,1}) = \sin\alpha\cdot\cos\alpha + \cos\alpha\cdot(-\sin\alpha) = \sin\alpha\cos\alpha - \cos\alpha\sin\alpha = 0.
Entrada (2,2): produto da segunda linha de R_{\alpha} pela segunda coluna de R_{\alpha}^{t}:
(\text{2,2}) = \sin\alpha\cdot\sin\alpha + \cos\alpha\cdot\cos\alpha = \sin^{2}\alpha + \cos^{2}\alpha = 1.
Portanto o produto resulta na matriz
R_{\alpha}R_{\alpha}^{t} = \begin{pmatrix}1 & 0 \\[4pt] 0 & 1\end{pmatrix} = I.]

Passo 5

Por completude, faço também o produto na ordem inversa R_{\alpha}^{t}R_{\alpha} (o cálculo é análogo e dá o mesmo resultado):
Entrada (1,1):
\cos\alpha\cdot\cos\alpha + \sin\alpha\cdot\sin\alpha = \cos^{2}\alpha+\sin^{2}\alpha = 1.
Entrada (1,2):
\cos\alpha\cdot(-\sin\alpha) + \sin\alpha\cdot\cos\alpha = -\cos\alpha\sin\alpha + \sin\alpha\cos\alpha = 0.
Entrada (2,1):
(-\sin\alpha)\cdot\cos\alpha + \cos\alpha\cdot\sin\alpha = -\sin\alpha\cos\alpha + \cos\alpha\sin\alpha = 0.
Entrada (2,2):
(-\sin\alpha)\cdot(-\sin\alpha) + \cos\alpha\cdot\cos\alpha = \sin^{2}\alpha + \cos^{2}\alpha = 1.
Assim
R_{\alpha}^{t}R_{\alpha} = I.
Ter R_{\alpha}R_{\alpha}^{t}=I e R_{\alpha}^{t}R_{\alpha}=I significa exatamente que R_{\alpha}^{t} é a inversa de R_{\alpha}.

Passo 6

Conclusão algebraica: como encontramos uma matriz que multiplicada por R_{\alpha} (à esquerda e à direita) dá a identidade, essa matriz é a inversa. Logo
R_{\alpha}^{-1} = R_{\alpha}^{t}.

Passo 7

Comentário geométrico (intuição extra, útil na prova): a rotação de ângulo \alpha tem inversa igual à rotação de ângulo -\alpha (girar para frente e depois para trás anula a rotação). Escrevendo a matriz de rotação de -\alpha,
R_{-\alpha}=\begin{pmatrix}\cos(-\alpha) & -\sin(-\alpha) \\[4pt] \sin(-\alpha) & \cos(-\alpha)\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}\cos\alpha & \sin\alpha \\[4pt] -\sin\alpha & \cos\alpha\end{pmatrix},
onde usei \cos(-\alpha)=\cos\alpha e \sin(-\alpha)=-\sin\alpha. Observe que R_{-\alpha}=R_{\alpha}^{t}. Assim a inversa (que é R_{-\alpha}) coincide com a transposta — ótima checagem geométrica da igualdade que demonstramos algebricamente.]

Passo 8

Comentário final sobre ortogonalidade: matrizes cuja inversa é igual à transposta são chamadas de matrizes ortogonais. Para R_{\alpha} isso ocorre porque suas colunas são vetores unitários e mutuamente ortogonais:
primeira coluna (\cos\alpha,\sin\alpha) tem norma 1, segunda coluna (-\sin\alpha,\cos\alpha) tem norma 1, e o produto interno entre elas é 0. Essa propriedade leva diretamente a R_{\alpha}^{t}R_{\alpha}=I.

Resposta

R_{\alpha}^{-1} = R_{\alpha}^{t}

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