(a) Seja A=\left[\begin{array}{ll}a_{11} & a_{12} \\\ a_{21} & a_{22}\end{array}\right]. Verifique que se d=a_{11} a_{22}-a_{12} a_{21} \neq 0 então A^{-1}=\frac{1}{d}\left[\begin{array}{cc}a_{22} & -a_{12} \\\\ -a_{21} & a_{11}\end{array}\right].
(b) Use o item (a) para calcular a inversa da matriz A=\left[\begin{array}{ll}2 & 2 \\\\ 3 & 4\end{array}\right].

Passo 1

O enunciado faz duas perguntas:
(a) Verificar que, para a matriz A=\left[\begin{array}{ll}a_{11} & a_{12} \\\ a_{21} & a_{22}\end{array}\right] com d=a_{11}a_{22}-a_{12}a_{21}\neq 0, vale
A^{-1}=\frac{1}{d}\left[\begin{array}{cc}a_{22} & -a_{12} \\\\ -a_{21} & a_{11}\end{array}\right].
(b) Usar o item (a) para calcular a inversa da matriz \displaystyle A=\left[\begin{array}{ll}2 & 2 \\\\ 3 & 4\end{array}\right].
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
\;a_{11},a_{12},a_{21},a_{22} são os elementos da matriz 2\times2;
\;d=a_{11}a_{22}-a_{12}a_{21} é o determinante e é diferente de zero, o que garante existência da inversa.

Passo 2

O que significa verificar a fórmula? Significa mostrar que a matriz candidata
B=\frac{1}{d}\left[\begin{array}{cc}a_{22} & -a_{12} \\\\ -a_{21} & a_{11}\end{array}\right]
satisfaz AB=I_2 e BA=I_2, onde I_2 é a matriz identidade 2\times2:
I_2=\left[\begin{array}{cc}1 & 0 \\\\ 0 & 1\end{array}\right].
Vou então calcular o produto AB explicitamente; como estamos em 2\times2 dá para seguir passo a passo sem pular nada.

Passo 3

Escrevo A e B e coloco o fator 1/d fora para facilitar:
A=\left[\begin{array}{cc}a_{11} & a_{12} \\\ a_{21} & a_{22}\end{array}\right], \qquad B=\frac{1}{d}\left[\begin{array}{cc}a_{22} & -a_{12} \\\\ -a_{21} & a_{11}\end{array}\right].
Então
AB=\frac{1}{d}\left[\begin{array}{cc} a_{11}a_{22}+a_{12}(-a_{21}) & a_{11}(-a_{12})+a_{12}a_{11} \\\ a_{21}a_{22}+a_{22}(-a_{21}) & a_{21}(-a_{12})+a_{22}a_{11} \end{array}\right].

Passo 4

Calculo cada entrada do produto AB com calma:
Primeiro elemento (linha 1, coluna 1):
a_{11}a_{22}+a_{12}(-a_{21})=a_{11}a_{22}-a_{12}a_{21}=d.
Primeira linha, segunda coluna:
a_{11}(-a_{12})+a_{12}a_{11}=-a_{11}a_{12}+a_{11}a_{12}=0.
Segunda linha, primeira coluna:
a_{21}a_{22}+a_{22}(-a_{21})=a_{21}a_{22}-a_{21}a_{22}=0.
Segunda linha, segunda coluna:
a_{21}(-a_{12})+a_{22}a_{11}=-a_{21}a_{12}+a_{11}a_{22}=a_{11}a_{22}-a_{12}a_{21}=d.
Portanto
AB=\frac{1}{d}\left[\begin{array}{cc}d & 0 \\\\ 0 & d\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}1 & 0 \\\\ 0 & 1\end{array}\right]=I_2.

Passo 5

Para ser perfeitamente rigoroso também verifico BA. Escrevo
BA=\frac{1}{d}\left[\begin{array}{cc} a_{22}a_{11}+(-a_{12})a_{21} & a_{22}a_{12}+(-a_{12})a_{22} \\\ (-a_{21})a_{11}+a_{11}a_{21} & (-a_{21})a_{12}+a_{11}a_{22} \end{array}\right].
Agora cada entrada:
linha 1, coluna 1: a_{22}a_{11}-a_{12}a_{21}=d.
linha 1, coluna 2: a_{22}a_{12}-a_{12}a_{22}=0.
linha 2, coluna 1: -a_{21}a_{11}+a_{11}a_{21}=0.
linha 2, coluna 2: -a_{21}a_{12}+a_{11}a_{22}=d.
Logo
BA=\frac{1}{d}\left[\begin{array}{cc}d & 0 \\\\ 0 & d\end{array}\right]=I_2.

Passo 6

Concluo que a matriz B é simultaneamente inversa à direita e à esquerda, isto é, AB=BA=I_2. Assim a fórmula está verificada: se \;d=a_{11}a_{22}-a_{12}a_{21}\neq 0 então
A^{-1}=\frac{1}{d}\left[\begin{array}{cc}a_{22} & -a_{12} \\\\ -a_{21} & a_{11}\end{array}\right].
Dica prática para a prova: memorizando a “adjunta” para 2\times2 — trocar os elementos da diagonal e trocar o sinal dos elementos fora da diagonal — e dividir pelo determinante \;d resolve rápido.

Passo 7

Agora aplico a fórmula ao item (b). Para
A=\left[\begin{array}{cc}2 & 2 \\\\ 3 & 4\end{array}\right]
temos a_{11}=2,\;a_{12}=2,\;a_{21}=3,\;a_{22}=4. Calculo o determinante:
d=a_{11}a_{22}-a_{12}a_{21}=2\cdot4-2\cdot3=8-6=2\neq 0.
Pela fórmula,
A^{-1}=\frac{1}{2}\left[\begin{array}{cc}4 & -2 \\\\ -3 & 2\end{array}\right] =\left[\begin{array}{cc}2 & -1 \\\\ -\tfrac{3}{2} & 1\end{array}\right].

Passo 8

Faço uma checagem rápida multiplicando A por A^{-1} encontrado:
\left[\begin{array}{cc}2 & 2 \\\\ 3 & 4\end{array}\right] \left[\begin{array}{cc}2 & -1 \\\\ -\tfrac{3}{2} & 1\end{array}\right] =\left[\begin{array}{cc} 2\cdot2+2\cdot(-\tfrac{3}{2}) & 2\cdot(-1)+2\cdot1 \\\\ 3\cdot2+4\cdot(-\tfrac{3}{2}) & 3\cdot(-1)+4\cdot1 \end{array}\right] =\left[\begin{array}{cc}1 & 0 \\\\ 0 & 1\end{array}\right],
confirmando que o resultado está correto. Força aí — essa fórmula salva tempo na prova!

Resposta

(a) \displaystyle A^{-1}=\frac{1}{d}\left[\begin{array}{cc}a_{22} & -a_{12} \\\\ -a_{21} & a_{11}\end{array}\right] com \displaystyle d=a_{11}a_{22}-a_{12}a_{21}\neq 0.\n(b) \displaystyle A^{-1}=\left[\begin{array}{cc}2 & -1 \\\\ -\tfrac{3}{2} & 1\end{array}\right]

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