(a) Seja A=\left[\begin{array}{ll}a_{11} & a_{12} \\\ a_{21} & a_{22}\end{array}\right]. Verifique que se d=a_{11} a_{22}-a_{12} a_{21} \neq 0 então A^{-1}=\frac{1}{d}\left[\begin{array}{cc}a_{22} & -a_{12} \\\\ -a_{21} & a_{11}\end{array}\right].
(b) Use o item (a) para calcular a inversa da matriz A=\left[\begin{array}{ll}2 & 2 \\\\ 3 & 4\end{array}\right].
Passo 1
O enunciado faz duas perguntas:
(a) Verificar que, para a matriz A=\left[\begin{array}{ll}a_{11} & a_{12} \\\ a_{21} & a_{22}\end{array}\right] com d=a_{11}a_{22}-a_{12}a_{21}\neq 0, vale
(b) Usar o item (a) para calcular a inversa da matriz \displaystyle A=\left[\begin{array}{ll}2 & 2 \\\\ 3 & 4\end{array}\right].
Informações relevantes dadas pelo enunciado: \;a_{11},a_{12},a_{21},a_{22} são os elementos da matriz 2\times2; \;d=a_{11}a_{22}-a_{12}a_{21} é o determinante e é diferente de zero, o que garante existência da inversa.
Passo 2
O que significa verificar a fórmula? Significa mostrar que a matriz candidata
Agora cada entrada:
linha 1, coluna 1: a_{22}a_{11}-a_{12}a_{21}=d.
linha 1, coluna 2: a_{22}a_{12}-a_{12}a_{22}=0.
linha 2, coluna 1: -a_{21}a_{11}+a_{11}a_{21}=0.
linha 2, coluna 2: -a_{21}a_{12}+a_{11}a_{22}=d.
Logo
Concluo que a matriz B é simultaneamente inversa à direita e à esquerda, isto é, AB=BA=I_2. Assim a fórmula está verificada: se \;d=a_{11}a_{22}-a_{12}a_{21}\neq 0 então
Dica prática para a prova: memorizando a “adjunta” para 2\times2 — trocar os elementos da diagonal e trocar o sinal dos elementos fora da diagonal — e dividir pelo determinante \;d resolve rápido.