Se uma matriz 3 por 3 tem det A=-1, encontre det(12 A) e det(-A) e det(A^2) e det(A^-1).

Passo 1

O problema diz que A é uma matriz 3times3 com det(A)=-1. Precisamos usar as propriedades de determinante:
  1. Escalonamento de linha inteira
  2. Produto de matrizes
  3. Inversa
Em particular:
  • det(cA)=c^ndet(A) para matriz ntimes n.
  • det(AB)=det(A)det(B).
  • det(A^-1)=1/det(A).

Passo 2

Para detl(tfrac12Ar) usamos det(cA)=c^ndet(A) com c=tfrac12 e n=3:
detl(tfrac12Ar)=l(tfrac12r)^3det(A) =tfrac18cdot(-1) =-tfrac18

Passo 3

Para det(-A) é o mesmo princípio com c=-1 e n=3:
det(-A)=(-1)^3det(A) =-1cdot(-1) =1

Passo 4

Para det(A^2) usamos det(AB)=det(A)det(B) com B=A:
det(A^2)=det(A)det(A) =(-1)cdot(-1) =1

Passo 5

Para det(A^-1) usamos det(A^-1)=1/det(A):
det(A^-1)=1det(A) =1-1 =-1

Resposta

detl(tfrac12Ar)=-tfrac18
det(-A)=1
det(A^2)=1
det(A^-1)=-1

Exercícios relacionados