Se a matriz A tem duas linhas (ou duas colunas) iguais, o determinante é nulo:
\operatorname{det} A=\left|\begin{array}{ccc} a_{1} & a_{1} & c_{1} \\ a_{2} & a_{2} & c_{2} \\ a_{3} & a_{3} & c_{3} \end{array}\right|=0

Passo 1

O enunciado dá uma matriz A de ordem 3 (pode generalizar para ordem n) cujas duas primeiras linhas são iguais:
A=\begin{pmatrix} a_{1} & a_{1} & c_{1} \\\ a_{2} & a_{2} & c_{2} \\\ a_{3} & a_{3} & c_{3} \end{pmatrix},
ou, em linguagem curta, a linha 1 é igual à linha 2. A afirmação a ser demonstrada é que o determinante dessa matriz é nulo, isto é:
\det A = 0.
Informações relevantes dadas:
  • Duas linhas (ou duas colunas) de A são idênticas.
  • Pede-se justificar por que isso implica \det A=0.

Passo 2

Primeira ideia: usar a propriedade de anti-simetria (trocar duas linhas muda o sinal do determinante). Vou explicar essa propriedade de forma simples e por que ela é plausível.
Explicação da propriedade (noções intuitivas):
  • O determinante pode ser definido como uma soma sobre permutações com sinais (fórmula de Leibniz), mas aqui não é preciso escrever toda a fórmula para entender a consequência relevante.
  • Uma consequência-chave é: se troco duas linhas de uma matriz, o determinante resultante é o negativo do determinante original. Em símbolos, se B é obtida de A trocando as linhas i e j, então
\det B = -\det A.
Intuição curta: a troca de duas linhas corresponde a compor todas as permutações que aparecem na soma do determinante por uma transposição; cada permutação tem seu sinal invertido, então o determinante total troca de sinal.

Passo 3

Aplicando a propriedade do passo anterior ao caso em que as duas linhas já são iguais.
  • Seja A a matriz dada e A' a matriz obtida trocando as linhas 1 e 2 de A.
  • Como as linhas 1 e 2 de A são iguais, a troca não altera a matriz: A' = A.
  • Pela propriedade da troca de linhas, tem-se
\det A' = -\det A.
Mas A' = A, então
\det A = -\det A.
Soma-se \det A dos dois lados:
2\det A = 0 \quad\Rightarrow\quad \det A = 0.
Conclusão: o determinante é nulo.

Passo 4

Segunda prova (uma via alternativa que usa operações elementares de linha), útil para entender de outro ângulo e para quem gosta de ver o «porquê operacional»:
Lembrar duas propriedades operacionais básicas (explicadas de forma intuitiva):
  1. Subtrair de uma linha um múltiplo de outra linha não altera o valor do determinante. Em particular, substituir a linha 2 por (linha 2 - linha 1) deixa o determinante inalterado.
  2. Se uma linha de uma matriz é a linha zero (todos os elementos nulos), então o determinante da matriz é zero (porque todas as contribuições na expansão se anulam).
Aplicando:
  • Partindo de A, faça a operação linha 2 \leftarrow linha 2 - linha 1. Como as linhas 1 e 2 são iguais, essa operação transforma a linha 2 em uma linha de zeros.
  • Pelo item 1, a operação não altera o determinante; pelo item 2, a nova matriz, que tem uma linha zero, tem determinante 0.
  • Logo, o determinante original é 0.

Passo 5

Comentário sobre colunas e sobre dependência linear (ligando com conceitos que aparecem em prova):
  • O mesmo raciocínio vale se duas colunas forem iguais (trocar duas colunas muda o sinal do determinante; ou subtrair uma coluna da outra gera uma coluna nula). Portanto, duas colunas iguais também implicam \det A=0.
  • Mais geral e conceitual: se as linhas (ou colunas) de uma matriz são linearmente dependentes, então o determinante é zero. Ter duas linhas iguais é um caso especial de dependência linear (uma linha é igual a 1 vezes a outra), logo determinant nulo. Isso é útil para reconhecer rapidamente casos em provas: qualquer dependência entre linhas/colunas (por exemplo, uma linha é combinação linear das outras) anula o determinante.

Passo 6

Um exemplo numérico pequeno para fixar a ideia (ver concretamente como fica zero):
Considere
A=\begin{pmatrix} 2 & 2 & 3 \\\\ 2 & 2 & 5 \\\\ 1 & 1 & 0 \end{pmatrix},
aqui as duas primeiras colunas são iguais. Usando qualquer método de cálculo (por exemplo, desenvolver por cofatores ou aplicar operações de linha), obtém-se \det A=0. Pela operação: coluna 2 \leftarrow coluna 2 - coluna 1 gera uma coluna nula, logo determinante 0. Esse exemplo mostra operacionalmente o que provamos nos passos anteriores.

Passo 7

Recapitulando em linguagem de prova curta (o que você pode escrever na prova, de forma elegante e curta):
Suponha que a linha i e a linha j de A são iguais. Trocar as linhas i e j não altera A, mas a operação de trocar duas linhas altera o sinal do determinante, logo \det A = -\det A. Assim \det A=0. Fim.

Resposta

\det A=0

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