Trocando-se entre si duas linhas (ou colunas) da matriz A, o determinante muda de sinal, isto é, fica multiplicado por -1 :
\left|\begin{array}{lll} \mathrm{a}_{1} & \mathrm{~b}_{1} & \mathrm{c}_{1} \\\ \mathrm{a}_{2} & \mathrm{~b}_{2} & \mathrm{c}_{2} \\\ \mathrm{a}_{3} & \mathrm{~b}_{3} & \mathrm{c}_{3} \end{array}\right|=-\left|\begin{array}{lll} \mathrm{a}_{1} & \mathrm{~b}_{1} & \mathrm{c}_{1} \\\ \mathrm{a}_{3} & \mathrm{~b}_{3} & \mathrm{c}_{3} \\\ \mathrm{a}_{2} & \mathrm{~b}_{2} & \mathrm{c}_{2} \end{array}\right|
Calcular:
\operatorname{det} A=\left|\begin{array}{rrr} 1 & 3 & 5 \\\\ 0 & 0 & 2 \\\\ 0 & 4 & 12 \end{array}\right|
a) Desenvolvendo o determinante pela 2^{\mathrm{a}} linha e observando a alternância dos sinais que precedem os produtos, vem:
\begin{aligned} & \operatorname{det} A=-0 \times\left|\begin{array}{lr} 3 & 5 \\\\ 4 & 12 \end{array}\right|+0 \times\left|\begin{array}{ll} 1 & 5 \\\\ 0 & 12 \end{array}\right|-2 \times\left|\begin{array}{ll} 1 & 3 \\\\ 0 & 4 \end{array}\right| \\\ & \operatorname{det} A=-0 \times(3 \times 12-5 \times 4)+0 \times(1 \times 12-5 \times 0)-2 \times(1 \times 4-3 \times 0) \\\ & \operatorname{det} A=-0 \times(36-20)+0 \times(12-0)-2(4-0) \\\ & \operatorname{det} A=-0 \times 16+0 \times 12-2 \times 4 \\\ & \operatorname{det} A=-0+0-8 \end{aligned}

Passo 1

O enunciado pede para calcular o determinante da matriz A:
A=\begin{pmatrix} 1 & 3 & 5\\[4pt] 0 & 0 & 2\\[4pt] 0 & 4 & 12 \end{pmatrix}.
Informações relevantes dadas:
  • A matriz A é 3\times3.
  • Foi lembrado que trocar duas linhas (ou colunas) de uma matriz muda o sinal do determinante (multiplica por -1).
    A pergunta é: qual é o valor de \det A?]

Passo 2

Escolha do método e conceito usado (expansão por co-fatores):
  • Vou usar a expansão por co-fatores (também chamada de desenvolvimento por uma linha). A fórmula geral para desenvolver pela linha i é
\det A=\sum_{j=1}^{n}(-1)^{i+j}a_{ij}\det(M_{ij}),
onde a_{ij} é o elemento da linha i e coluna j, e M_{ij} é a matriz que se obtém eliminando a linha i e a coluna j (chamada de menor ou minor).
  • A razão de escolher a 2ª linha é prática: nela há dois zeros, o que reduz bastante as contas (teremos só um termo não nulo).
  • Lembrete sobre os sinais: a matriz dos sinais (-1)^{i+j} para 3\times3 é
\begin{pmatrix} + & - & +\\[4pt] - & + & -\\[4pt] + & - & + \end{pmatrix},
ou seja, ao desenvolver pela 2ª linha os sinais serão -,+,- respectivamente para as colunas 1,2,3.]

Passo 3

Aplicando a expansão pela 2ª linha ( i=2). Escrevo o desenvolvimento termo a termo:
\det A = (-1)^{2+1}\,a_{21}\,\det(M_{21}) +(-1)^{2+2}\,a_{22}\,\det(M_{22}) +(-1)^{2+3}\,a_{23}\,\det(M_{23}).
Agora substituo os elementos da 2ª linha: a_{21}=0, a_{22}=0, a_{23}=2. Então
\det A = (-1)^{3}\cdot 0\cdot\det(M_{21}) + (-1)^{4}\cdot 0\cdot\det(M_{22}) + (-1)^{5}\cdot 2\cdot\det(M_{23}).

Passo 4

Calculo os menores (os determinantes das matrizes 2\times2):
  • Para M_{21} (eliminar linha 2 e coluna 1) fica a matriz
M_{21}=\begin{pmatrix}3 & 5\\[4pt]4 & 12\end{pmatrix},
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\det(M_{21})=3\cdot 12 - 5\cdot 4 = 36-20 = 16.
  • Para M_{22} (eliminar linha 2 e coluna 2) fica
M_{22}=\begin{pmatrix}1 & 5\\[4pt]0 & 12\end{pmatrix},
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\det(M_{22})=1\cdot 12 - 5\cdot 0 = 12.
  • Para M_{23} (eliminar linha 2 e coluna 3) fica
M_{23}=\begin{pmatrix}1 & 3\\[4pt]0 & 4\end{pmatrix},
logo
\det(M_{23})=1\cdot 4 - 3\cdot 0 = 4.]

Passo 5

Substituo esses menores na expressão do Passo 3 e uso os sinais calculados:
\det A = (-1)\cdot 0\cdot 16 + (+1)\cdot 0\cdot 12 + (-1)\cdot 2\cdot 4.
Simplificando cada termo:
\det A = 0 + 0 + (-1)\cdot 8 = -8.

Passo 6

Verificação alternativa (checagem rápida usando a propriedade de troca de linhas):
  • Se eu trocar a 2ª e a 3ª linhas da matriz A obtenho
A'=\begin{pmatrix} 1 & 3 & 5\\[4pt] 0 & 4 & 12\\[4pt] 0 & 0 & 2 \end{pmatrix},
que é triangular superior. O determinante de uma matriz triangular é o produto dos elementos da diagonal, então
\det A' = 1\cdot 4\cdot 2 = 8.
Como troquei duas linhas para obter A', vale \det A' = -\det A. Portanto \det A = -\det A' = -8, confirmando o resultado do desenvolvimento por cofatores.]

Resposta

-8

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