Se a matriz A possui uma linha (ou coluna) constituîda de elementos todos nulos, o determinante é nulo:
\operatorname{det} A=\left|\begin{array}{ccc} a_{1} & b_{1} & 0 \\ a_{2} & b_{2} & 0 \\ a_{3} & b_{3} & 0 \end{array}\right|=0

Passo 1

O enunciado dá a matriz A de ordem 3 cuja terceira coluna é toda nula:
A=\begin{pmatrix} a_{1} & b_{1} & 0 \\\ a_{2} & b_{2} & 0 \\\ a_{3} & b_{3} & 0 \end{pmatrix}.
A pergunta é: mostrar que \det A=0. Lista das informações relevantes:
  • Todos os elementos da terceira coluna são zero: a_{13}=0,\;a_{23}=0,\;a_{33}=0.
  • Pede-se provar que o determinante desta matriz é nulo.

Passo 2

Vou usar a fórmula de expansão por cofactores (expansão de Laplace) ao longo de uma coluna. Para uma matriz n\times n qualquer, a expansão ao longo da coluna j é
\det A=\sum_{i=1}^{n}(-1)^{i+j}a_{ij}\det(M_{ij}),
onde a_{ij} é o elemento da linha i, coluna j e M_{ij} é a matriz (n-1)\times(n-1) obtida de A removendo a linha i e a coluna j. Aqui, n=3.

Passo 3

Aplicando a expansão ao longo da terceira coluna ( j=3) para a matriz dada, obtemos
\det A=\sum_{i=1}^{3}(-1)^{i+3}a_{i3}\det(M_{i3}).
Mas os elementos da terceira coluna são todos zero, ou seja a_{13}=0,\;a_{23}=0,\;a_{33}=0. Substituindo:
\det A = (-1)^{1+3}\cdot 0\cdot\det(M_{13}) + (-1)^{2+3}\cdot 0\cdot\det(M_{23}) + (-1)^{3+3}\cdot 0\cdot\det(M_{33}).
Cada termo é um produto com zero, logo cada termo vale zero, e portanto
\det A = 0+0+0 = 0.

Passo 4

Explico didaticamente o porquê íntimo dessa conta, sem usar muita teoria abstrata: a expansão por cofactores mostra que o determinante é uma soma de produtos onde cada produto contém exatamente um elemento de cada coluna. Se uma coluna inteira for zero, em toda soma aparece um fator zero (o elemento dessa coluna), então a soma inteira é zero.

Passo 5

Dou outra justificativa alternativa, útil na prova: a função determinante é multilinear nas colunas (linéaridade em cada coluna separadamente). Isso significa, entre outras coisas, que se uma coluna é o vetor nulo \mathbf{0}, então
\det(\,\text{col}_1,\dots,\text{col}_{j-1},\mathbf{0},\text{col}_{j+1},\dots)=0\cdot\det(\,\text{col}_1,\dots,\text{col}_{j-1},\mathbf{e},\dots)=0,
pois multiplicar uma coluna por zero anula o determinante. Intuição geométrica: o determinante mede o volume do paralelepípedo determinado pelas colunas; se uma coluna é o vetor nulo, o volume colapsa para zero.

Passo 6

Mostro um exemplo numérico rápido para fixar: tome
B=\begin{pmatrix}1&2&0\\[4pt]3&4&0\\[4pt]5&6&0\end{pmatrix}.
Usando expansão pela terceira coluna, os três termos envolvem os elementos 0, então \det B=0. Calculando por Sarrus (para lembrar) também dá zero porque as somas dos produtos positivos e negativos coincidem quando a terceira coluna é zero.]

Passo 7

Conclusão direta e prática para a prova: sempre que uma linha ou coluna de uma matriz for composta apenas por zeros, na expansão por Laplace todos os termos relativos a essa linha/coluna são nulos, logo o determinante da matriz é zero. Isso vale para qualquer ordem n.

Resposta

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