Explicando didaticamente: cada termo positivo é o produto dos elementos de três “diagonais” que descem da esquerda para a direita (há três delas, começando nas primeiras duas colunas), e cada termo negativo é o produto das três “diagonais” que descem da direita para a esquerda. A regra é apenas uma forma compacta de escrever a soma alternada de produtos; para 3\times3 ela é direta e evita trabalhar com permutações explicitamente.
Passo 3
Agora aplicamos a mesma regra de Sarrus à matriz transposta A^{T}. Escrevendo seu determinante:
Aqui os termos positivos são os produtos das diagonais descendentes da esquerda para a direita na matriz transposta, e os negativos são as diagonais descendentes da direita para a esquerda.
Passo 4
Compare termo a termo as duas expressões. Note que a multiplicação é comutativa, então podemos reordenar os fatores em cada produto sem mudar o valor. Listemos os três termos positivos de cada determinante e veja que coincidem (após reordenar fatores quando necessário):
No determinante de A o segundo termo positivo é b_{1}c_{2}a_{3}. Reordenando os fatores obtemos a_{3}b_{1}c_{2}, que é exatamente o terceiro termo positivo do determinante de A^{T}.
No determinante de A o terceiro termo positivo é c_{1}a_{2}b_{3}. Reordenando obtemos a_{2}b_{3}c_{1}, que é o segundo termo positivo do determinante de A^{T}.
O primeiro termo positivo a_{1}b_{2}c_{3} aparece idêntico em ambos.
Agora os termos negativos:
No determinante de A o primeiro termo negativo é c_{1}b_{2}a_{3}. Reordenando, isso é a_{3}b_{2}c_{1}, que aparece como primeiro termo negativo em A^{T}.
O segundo negativo em A é a_{1}c_{2}b_{3}. Reordenando dá a_{1}b_{3}c_{2}, que é o segundo negativo em A^{T}.
O terceiro negativo em A é b_{1}a_{2}c_{3}. Reordenando dá a_{2}b_{1}c_{3}, que é o terceiro negativo em A^{T}.
Portanto cada termo positivo/negativo do determinante de A aparece, possivelmente com os fatores reordenados, no determinante de A^{T}. Como reordenar fatores não altera o produto, as somas com os sinais concordam termo a termo.
Passo 5
Concluímos que as duas expressões para os determinantes são exatamente as mesmas, logo
Observação rápida e útil (fora do cálculo direto): para matrizes de qualquer ordem a igualdade \det(A)=\det(A^{T}) também vale; a prova geral usa a fórmula do determinante por permutações e o fato de que trocar índices equivale a inverter a permutação, mantendo o mesmo sinal, mas para 3\times3 a verificação via Sarrus é bem direta como fizemos acima.