O determinante de uma matriz A não se altera quando se trocam as linhas pelas colunas:
\left|\begin{array}{ccc} \mathrm{a}_{1} & \mathrm{~b}_{1} & \mathrm{c}_{1} \\\ \mathrm{a}_{2} & \mathrm{~b}_{2} & \mathrm{c}_{2} \\\ \mathrm{a}_{3} & \mathrm{~b}_{3} & \mathrm{c}_{3} \end{array}\right|=\left|\begin{array}{ccc} \mathrm{a}_{1} & \mathrm{a}_{2} & \mathrm{a}_{3} \\\ \mathrm{~b}_{1} & \mathrm{~b}_{2} & \mathrm{~b}_{3} \\\ \mathrm{c}_{1} & \mathrm{c}_{2} & \mathrm{c}_{3} \end{array}\right|

Passo 1

O enunciado dá duas matrizes 3\times3 (uma é a transposta da outra) e pede para mostrar que os determinantes são iguais. Escrevendo-as:
A=\begin{pmatrix} a_{1} & b_{1} & c_{1} \\\ a_{2} & b_{2} & c_{2} \\\ a_{3} & b_{3} & c_{3} \end{pmatrix}, \qquad A^{T}=\begin{pmatrix} a_{1} & a_{2} & a_{3} \\\ b_{1} & b_{2} & b_{3} \\\ c_{1} & c_{2} & c_{3} \end{pmatrix}.
O que se pede: provar que
\left|\begin{array}{ccc} a_{1} & b_{1} & c_{1} \\\ a_{2} & b_{2} & c_{2} \\\ a_{3} & b_{3} & c_{3} \end{array}\right| = \left|\begin{array}{ccc} a_{1} & a_{2} & a_{3} \\\ b_{1} & b_{2} & b_{3} \\\ c_{1} & c_{2} & c_{3} \end{array}\right|.
Lista de informações relevantes fornecidas:
  • Os elementos das matrizes são os símbolos a_i,b_i,c_i indicados.
  • A segunda matriz é exatamente a transposta da primeira (linhas viram colunas).
  • Objetivo é comparar os determinantes das duas matrizes e mostrar que são iguais.

Passo 2

Relembrando uma fórmula prática para determinante de 3\times3: a regra de Sarrus. Para uma matriz com entradas conforme A acima, a regra dá
\left|\begin{array}{ccc} a_{1} & b_{1} & c_{1} \\\ a_{2} & b_{2} & c_{2} \\\ a_{3} & b_{3} & c_{3} \end{array}\right| = a_{1}b_{2}c_{3}+b_{1}c_{2}a_{3}+c_{1}a_{2}b_{3} - \bigl(c_{1}b_{2}a_{3}+a_{1}c_{2}b_{3}+b_{1}a_{2}c_{3}\bigr).
Explicando didaticamente: cada termo positivo é o produto dos elementos de três “diagonais” que descem da esquerda para a direita (há três delas, começando nas primeiras duas colunas), e cada termo negativo é o produto das três “diagonais” que descem da direita para a esquerda. A regra é apenas uma forma compacta de escrever a soma alternada de produtos; para 3\times3 ela é direta e evita trabalhar com permutações explicitamente.

Passo 3

Agora aplicamos a mesma regra de Sarrus à matriz transposta A^{T}. Escrevendo seu determinante:
\left|\begin{array}{ccc} a_{1} & a_{2} & a_{3} \\\ b_{1} & b_{2} & b_{3} \\\ c_{1} & c_{2} & c_{3} \end{array}\right| = a_{1}b_{2}c_{3}+a_{2}b_{3}c_{1}+a_{3}b_{1}c_{2} - \bigl(a_{3}b_{2}c_{1}+a_{1}b_{3}c_{2}+a_{2}b_{1}c_{3}\bigr).
Aqui os termos positivos são os produtos das diagonais descendentes da esquerda para a direita na matriz transposta, e os negativos são as diagonais descendentes da direita para a esquerda.

Passo 4

Compare termo a termo as duas expressões. Note que a multiplicação é comutativa, então podemos reordenar os fatores em cada produto sem mudar o valor. Listemos os três termos positivos de cada determinante e veja que coincidem (após reordenar fatores quando necessário):
  • No determinante de A o segundo termo positivo é b_{1}c_{2}a_{3}. Reordenando os fatores obtemos a_{3}b_{1}c_{2}, que é exatamente o terceiro termo positivo do determinante de A^{T}.
  • No determinante de A o terceiro termo positivo é c_{1}a_{2}b_{3}. Reordenando obtemos a_{2}b_{3}c_{1}, que é o segundo termo positivo do determinante de A^{T}.
  • O primeiro termo positivo a_{1}b_{2}c_{3} aparece idêntico em ambos.
Agora os termos negativos:
  • No determinante de A o primeiro termo negativo é c_{1}b_{2}a_{3}. Reordenando, isso é a_{3}b_{2}c_{1}, que aparece como primeiro termo negativo em A^{T}.
  • O segundo negativo em A é a_{1}c_{2}b_{3}. Reordenando dá a_{1}b_{3}c_{2}, que é o segundo negativo em A^{T}.
  • O terceiro negativo em A é b_{1}a_{2}c_{3}. Reordenando dá a_{2}b_{1}c_{3}, que é o terceiro negativo em A^{T}.
Portanto cada termo positivo/negativo do determinante de A aparece, possivelmente com os fatores reordenados, no determinante de A^{T}. Como reordenar fatores não altera o produto, as somas com os sinais concordam termo a termo.

Passo 5

Concluímos que as duas expressões para os determinantes são exatamente as mesmas, logo
\left|\begin{array}{ccc} a_{1} & b_{1} & c_{1} \\\ a_{2} & b_{2} & c_{2} \\\ a_{3} & b_{3} & c_{3} \end{array}\right| = \left|\begin{array}{ccc} a_{1} & a_{2} & a_{3} \\\ b_{1} & b_{2} & b_{3} \\\ c_{1} & c_{2} & c_{3} \end{array}\right|.
Observação rápida e útil (fora do cálculo direto): para matrizes de qualquer ordem a igualdade \det(A)=\det(A^{T}) também vale; a prova geral usa a fórmula do determinante por permutações e o fato de que trocar índices equivale a inverter a permutação, mantendo o mesmo sinal, mas para 3\times3 a verificação via Sarrus é bem direta como fizemos acima.

Resposta

[
\left| \begin{array}{ccc} a_{1} & b_{1} & c_{1} \\ a_{2} & b_{2} & c_{2} \\ a_{3} & b_{3} & c_{3} \end{array}\right|

\left| \begin{array}{ccc} a_{1} & a_{2} & a_{3} \\ b_{1} & b_{2} & b_{3} \\ c_{1} & c_{2} & c_{3} \end{array}\right|
]]

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