Qual matriz
representa uma transformação que
reflete todo vetor em relação ao plano
?
reflete todo vetor em relação ao plano
Passo 1
O enunciado pede: “Qual matriz
representa a transformação que reflete todo vetor em relação ao plano
?”\n
Informações dadas (implícitas): a reflexão é em relação ao plano que contém os eixos e
, ou seja, ao plano
. Não há outras restrições.
Informações dadas (implícitas): a reflexão é em relação ao plano que contém os eixos
Passo 2
Entendendo a reflexão em relação ao plano
.\n
- Refletir um ponto ou vetor em relação ao plano
significa manter as coordenadas e iguais e trocar o sinal da coordenada . Em fórmulas: a reflexão age em um vetor como
- Essa é uma transformação linear (porque preserva soma e multiplicação por escalar). Toda transformação linear em
pode ser representada por uma matriz em relação à base canônica.
Passo 3
Como obter a matriz de uma transformação linear: imagens dos vetores da base canônica.\n
- Denotemos a base canônica por
, , .\n - A coluna
da matriz que representa é exatamente expressa nas coordenadas da base canônica. Então vamos calcular , e .
Passo 4
Calcular as imagens dos vetores da base canônica.\n
- Aplicando
em : como aqui, .\n - Aplicando
em : .\n - Aplicando
em : agora , então .
Passo 5
Montar a matriz cujas colunas são as imagens encontradas.\n
- Coluna 1:
.\n - Coluna 2:
.\n - Coluna 3:
.\n
Portanto a matriz procurada é
Passo 6
Verificações úteis (para aprender a usar isso na prova):\n
- Ação em um vetor genérico
:
que confere com a definição de reflexão.\n
- Propriedades importantes:
(é uma involução: refletir duas vezes retorna o vetor original) e (matriz simétrica). Também é ortogonal porque . O determinante é , o que é típico de uma reflexão (preserva comprimentos, inverte orientação).]