Qual matriz 3 \times 3 representa uma transformação que
reflete todo vetor em relação ao plano x y ?

Passo 1

O enunciado pede: “Qual matriz 3\times3 representa a transformação que reflete todo vetor em relação ao plano xy?”\n
Informações dadas (implícitas): a reflexão é em relação ao plano que contém os eixos x e y, ou seja, ao plano z=0. Não há outras restrições.

Passo 2

Entendendo a reflexão em relação ao plano xy.\n
  • Refletir um ponto ou vetor em relação ao plano xy significa manter as coordenadas x e y iguais e trocar o sinal da coordenada z. Em fórmulas: a reflexão R age em um vetor (x,y,z) como
R(x,y,z) = (x,y,-z).
  • Essa é uma transformação linear (porque preserva soma e multiplicação por escalar). Toda transformação linear em \mathbb{R}^3 pode ser representada por uma matriz 3\times3 em relação à base canônica.

Passo 3

Como obter a matriz de uma transformação linear: imagens dos vetores da base canônica.\n
  • Denotemos a base canônica por \mathbf{e}_1=(1,0,0), \mathbf{e}_2=(0,1,0), \mathbf{e}_3=(0,0,1).\n
  • A coluna j da matriz que representa R é exatamente R(\mathbf{e}_j) expressa nas coordenadas da base canônica. Então vamos calcular R(\mathbf{e}_1), R(\mathbf{e}_2) e R(\mathbf{e}_3).

Passo 4

Calcular as imagens dos vetores da base canônica.\n
  • Aplicando R em \mathbf{e}_1=(1,0,0): como z=0 aqui, R(\mathbf{e}_1)=(1,0,0).\n
  • Aplicando R em \mathbf{e}_2=(0,1,0): R(\mathbf{e}_2)=(0,1,0).\n
  • Aplicando R em \mathbf{e}_3=(0,0,1): agora z=1, então R(\mathbf{e}_3)=(0,0,-1).

Passo 5

Montar a matriz cujas colunas são as imagens encontradas.\n
  • Coluna 1: R(\mathbf{e}_1)=(1,0,0).\n
  • Coluna 2: R(\mathbf{e}_2)=(0,1,0).\n
  • Coluna 3: R(\mathbf{e}_3)=(0,0,-1).\n
    Portanto a matriz procurada é
A = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\\[4pt] 0 & 1 & 0\\[4pt] 0 & 0 & -1 \end{pmatrix}.]

Passo 6

Verificações úteis (para aprender a usar isso na prova):\n
  • Ação em um vetor genérico (x,y,z):
A\begin{pmatrix}x\\[4pt]y\\[4pt]z\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\\[4pt] 0 & 1 & 0\\[4pt] 0 & 0 & -1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix}x\\[4pt]y\\[4pt]z\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}x\\[4pt]y\\[4pt]-z\end{pmatrix},
que confere com a definição de reflexão.\n
  • Propriedades importantes: A^2=I (é uma involução: refletir duas vezes retorna o vetor original) e A^T=A (matriz simétrica). Também A é ortogonal porque A^T A=I. O determinante é \det(A)=-1, o que é típico de uma reflexão (preserva comprimentos, inverte orientação).]

Resposta

\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\\[6pt] 0 & 1 & 0\\[6pt] 0 & 0 & -1 \end{pmatrix}]

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