Sendo uma transf. linear
e um subespaço vetorial
, mostre que
é um subespaço vetorial de
. Definimos
para algum
. Assim
e
coincidem.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar duas coisas concretas:
- Mostrar que, dado
uma transformação linear e um subespaço , o conjunto
é um subespaço vetorial de
.
- A partir disso, observar que, tomando
, as notações e coincidem (ou seja, ).
Informações dadas que vou usar (tiradas do enunciado):
-
é linear, ou seja, para quaisquer e qualquer escalar vale
-
é subespaço de , então contém o vetor nulo e é fechado para soma e multiplicação por escalar.
Passo 2
Lembrete didático do que significa ser subespaço de
. Um subconjunto
é subespaço vetorial de
se e somente se satisfaz (qualquer versão equivalente serve):
-
(normalmente provado mostrando que ); - Para quaisquer
vale (fechamento por soma); - Para qualquer escalar
e qualquer vale (fechamento por escalar).
Outra forma compacta que costuma aparecer na prova: mostrar que
contém
e que para quaisquer
e escalares
temos
. Ambas as formas são equivalentes; eu vou usar a versão com os três itens acima porque é a mais didática.
Passo 3
Provar que
não é vazio e contém
.
Explicação/por quê: como
é subespaço, ele contém o vetor nulo
. Pela linearidade de
sabemos que
Portanto existe
tal que
. Isso mostra que
, logo
.
Comentário prático para a prova: sempre que quiser provar que a imagem de algo não é vazia, verifique se o nulo está lá — para subespaços isso bate direto.
Passo 4
Provar fechamento por soma: se
então
.
Detalhamento passo a passo:
- Pela definição de
, existir tais que
- Como
é subespaço, . - Pela linearidade de
,
- Assim
é da forma , logo .
Pequena explicação pedagógica: a soma de imagens corresponde à imagem da soma porque
preserva soma — essa é a essência do argumento.
Passo 5
Provar fechamento por multiplicação por escalar: se
e
é escalar, então
.
Detalhamento passo a passo:
- Pela definição, existe
com . - Como
é subespaço, . - Pela linearidade de
,
- Logo
é imagem de um vetor de , então .
Explicação curta: a propriedade
garante que a multiplicação por escalar “passa” pelo operador
.
Passo 6
Concluir que
é subespaço de
.
Juntando os passos anteriores:
-
contém (Passo 3), então não é vazio. -
é fechado para soma (Passo 4). -
é fechado para multiplicação por escalar (Passo 5).
Portanto
satisfaz as condições para ser um subespaço vetorial de
. Em prova, basta mostrar esses três fatos de forma direta — já fizemos.
Passo 7
Mostrar que
e
coincidem (ou seja, são o mesmo conjunto).
Definições e argumento:
- Por definição dada no enunciado, para qualquer subespaço
definiu-se
- Tomando
obtemos
- A notação usual
(imagem de ) é exatamente o conjunto de todos que são imagens de algum . Logo, por definições, .
Comentário didático: aqui não há cálculo, é apenas reconhecer que duas notações estão definindo o mesmo conjunto. Em provas é comum dizer “por definição,
”.
Passo 8
Exemplo rápido e intuitivo (ajuda a fixar): seja
,
e
(projeção no primeiro componente). Tome
— que é subespaço de
. Então
que é claramente subespaço de
. Esse exemplo mostra concretamente como a imagem de um subespaço é subespaço.