Sendo uma transf. linear T: V \rightarrow W e um subespaço vetorial V_{1} \subseteq V, mostre que T\left(V_{1}\right) é um subespaço vetorial de W. Definimos T\left(V_{1}\right):=\left\{\vec{w} \in W \mid T(\vec{v})=\vec{w}\right. para algum \left.\vec{v} \in V_{1}\right\}. Assim T(V) e \operatorname{Im} T coincidem.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar duas coisas concretas:
  • Mostrar que, dado T: V \to W uma transformação linear e um subespaço V_1 \subseteq V, o conjunto
T(V_1):=\{\vec{w}\in W \mid \exists \vec{v}\in V_1 \text{ tal que } T(\vec{v})=\vec{w}\}
é um subespaço vetorial de W.
  • A partir disso, observar que, tomando V_1=V, as notações T(V) e \operatorname{Im}T coincidem (ou seja, T(V)=\operatorname{Im}T).
Informações dadas que vou usar (tiradas do enunciado):
  • T é linear, ou seja, para quaisquer \vec{u},\vec{v}\in V e qualquer escalar \alpha vale
T(\vec{u}+\vec{v})=T(\vec{u})+T(\vec{v}),\qquad T(\alpha\vec{v})=\alpha T(\vec{v}).
  • V_1 é subespaço de V, então contém o vetor nulo \vec{0}_V e é fechado para soma e multiplicação por escalar.

Passo 2

Lembrete didático do que significa ser subespaço de W. Um subconjunto U\subseteq W é subespaço vetorial de W se e somente se satisfaz (qualquer versão equivalente serve):
  1. U\neq\varnothing (normalmente provado mostrando que \vec{0}_W\in U);
  2. Para quaisquer \vec{a},\vec{b}\in U vale \vec{a}+\vec{b}\in U (fechamento por soma);
  3. Para qualquer escalar \lambda e qualquer \vec{a}\in U vale \lambda\vec{a}\in U (fechamento por escalar).
Outra forma compacta que costuma aparecer na prova: mostrar que U contém \vec{0}_W e que para quaisquer \vec{a},\vec{b}\in U e escalares \alpha,\beta temos \alpha\vec{a}+\beta\vec{b}\in U. Ambas as formas são equivalentes; eu vou usar a versão com os três itens acima porque é a mais didática.

Passo 3

Provar que T(V_1) não é vazio e contém \vec{0}_W.
Explicação/por quê: como V_1 é subespaço, ele contém o vetor nulo \vec{0}_V. Pela linearidade de T sabemos que
T(\vec{0}_V)=\vec{0}_W.
Portanto existe \vec{v}=\vec{0}_V\in V_1 tal que T(\vec{v})=\vec{0}_W. Isso mostra que \vec{0}_W\in T(V_1), logo T(V_1)\neq\varnothing.
Comentário prático para a prova: sempre que quiser provar que a imagem de algo não é vazia, verifique se o nulo está lá — para subespaços isso bate direto.

Passo 4

Provar fechamento por soma: se \vec{w}_1,\vec{w}_2\in T(V_1) então \vec{w}_1+\vec{w}_2\in T(V_1).
Detalhamento passo a passo:
  • Pela definição de T(V_1), existir \vec{v}_1,\vec{v}_2\in V_1 tais que
\vec{w}_1=T(\vec{v}_1),\qquad \vec{w}_2=T(\vec{v}_2).
  • Como V_1 é subespaço, \vec{v}_1+\vec{v}_2\in V_1.
  • Pela linearidade de T,
T(\vec{v}_1+\vec{v}_2)=T(\vec{v}_1)+T(\vec{v}_2)=\vec{w}_1+\vec{w}_2.
  • Assim \vec{w}_1+\vec{w}_2 é da forma T(\text{algum vetor de }V_1), logo \vec{w}_1+\vec{w}_2\in T(V_1).
Pequena explicação pedagógica: a soma de imagens corresponde à imagem da soma porque T preserva soma — essa é a essência do argumento.

Passo 5

Provar fechamento por multiplicação por escalar: se \vec{w}\in T(V_1) e \alpha é escalar, então \alpha\vec{w}\in T(V_1).
Detalhamento passo a passo:
  • Pela definição, existe \vec{v}\in V_1 com \vec{w}=T(\vec{v}).
  • Como V_1 é subespaço, \alpha\vec{v}\in V_1.
  • Pela linearidade de T,
T(\alpha\vec{v})=\alpha T(\vec{v})=\alpha\vec{w}.
  • Logo \alpha\vec{w} é imagem de um vetor de V_1, então \alpha\vec{w}\in T(V_1).
Explicação curta: a propriedade T(\alpha\vec{v})=\alpha T(\vec{v}) garante que a multiplicação por escalar “passa” pelo operador T.

Passo 6

Concluir que T(V_1) é subespaço de W.
Juntando os passos anteriores:
  • T(V_1) contém \vec{0}_W (Passo 3), então não é vazio.
  • T(V_1) é fechado para soma (Passo 4).
  • T(V_1) é fechado para multiplicação por escalar (Passo 5).
Portanto T(V_1) satisfaz as condições para ser um subespaço vetorial de W. Em prova, basta mostrar esses três fatos de forma direta — já fizemos.

Passo 7

Mostrar que T(V) e \operatorname{Im}T coincidem (ou seja, são o mesmo conjunto).
Definições e argumento:
  • Por definição dada no enunciado, para qualquer subespaço V_1 definiu-se
T(V_1)=\{\vec{w}\in W \mid \exists \vec{v}\in V_1 \text{ tal que } T(\vec{v})=\vec{w}\}.
  • Tomando V_1=V obtemos
T(V)=\{\vec{w}\in W \mid \exists \vec{v}\in V \text{ tal que } T(\vec{v})=\vec{w}\}.
  • A notação usual \operatorname{Im}T (imagem de T) é exatamente o conjunto de todos \vec{w}\in W que são imagens de algum \vec{v}\in V. Logo, por definições, T(V)=\operatorname{Im}T.
Comentário didático: aqui não há cálculo, é apenas reconhecer que duas notações estão definindo o mesmo conjunto. Em provas é comum dizer “por definição, \operatorname{Im}T=T(V)”.

Passo 8

Exemplo rápido e intuitivo (ajuda a fixar): seja V=\mathbb{R}^2, W=\mathbb{R} e T(x,y)=x (projeção no primeiro componente). Tome V_1=\{(x,0)\mid x\in\mathbb{R}\} — que é subespaço de \mathbb{R}^2. Então
T(V_1)=\{x\in\mathbb{R}\mid \exists (x,0)\in V_1 \text{ tal que } T(x,0)=x\}=\mathbb{R},
que é claramente subespaço de \mathbb{R}. Esse exemplo mostra concretamente como a imagem de um subespaço é subespaço.

Resposta

T(V_1) é um subespaço vetorial de W.\n
T(V)=\operatorname{Im}T.

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