A transformação “cíclica” T é definida por T\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}\right)=\left(x_{2}, x_{3}, x_{1}\right). Quanto vale T(T(T(\vec{x}))) ? Quanto vale T^{100}(\vec{x}) ?

Passo 1

O enunciado dá a transformação cíclica T definida por
T\bigl(x_{1},x_{2},x_{3}\bigr)=\bigl(x_{2},x_{3},x_{1}\bigr),
e pede duas coisas:
  • calcular T\bigl(T\bigl(T(\vec{x})\bigr)\bigr);
  • calcular T^{100}(\vec{x}).
Também cabe anotar que vou usar \vec{x}=(x_{1},x_{2},x_{3}) como vetor genérico e que por T^{n} entende-se T composta consigo mesma n vezes (ou seja, T^{2}=T\circ T, T^{3}=T\circ T\circ T, etc.).

Passo 2

Vamos aplicar T uma vez, lembrando explicitamente cada componente:
T(\,x_{1},x_{2},x_{3}\,)=\bigl(x_{2},x_{3},x_{1}\bigr).
Isto significa: o primeiro componente vira o segundo, o segundo vira o terceiro e o terceiro vira o primeiro.

Passo 3

Agora aplico T sobre o resultado anterior para obter T^{2}(\vec{x}). Começo com
T(\,x_{1},x_{2},x_{3}\,)=\bigl(x_{2},x_{3},x_{1}\bigr),
e aplico T novamente:
T^{2}(\vec{x})=T\bigl(x_{2},x_{3},x_{1}\bigr)=\bigl(x_{3},x_{1},x_{2}\bigr).
Aqui cada componente “anda” mais um passo na ciclagem: o que era em posição 1 vai para a 2, depois para a 3, etc.

Passo 4

Agora faço a terceira aplicação para obter T^{3}(\vec{x}). Parto de
T^{2}(\vec{x})=\bigl(x_{3},x_{1},x_{2}\bigr)
e aplico T:
T^{3}(\vec{x})=T\bigl(x_{3},x_{1},x_{2}\bigr)=\bigl(x_{1},x_{2},x_{3}\bigr).
Ou seja, após três aplicações voltamos exatamente ao vetor original \vec{x}.

Passo 5

Interpretação e conclusão para a primeira pergunta. Como T^{3}(\vec{x})=\vec{x} para todo vetor \vec{x}, a composição tripla é a transformação identidade. Em palavras simples: três rotações cíclicas devolvem cada componente ao seu lugar original. Portanto
T\bigl(T\bigl(T(\vec{x})\bigr)\bigr)=\vec{x}=\bigl(x_{1},x_{2},x_{3}\bigr).

Passo 6

Agora para T^{100}. Observamos que as potências de T se repetem com período 3 porque T^{3}=\mathrm{Id}. Isso significa que, para qualquer inteiro não negativo n, basta reduzir n módulo 3 para saber qual potência aparece:
T^{n}=T^{n\bmod 3}.
Calculamos 100\bmod 3. Como
100 = 3\cdot 33 + 1,
temos
100\equiv 1\pmod{3}.

Passo 7

Conclusão para T^{100}. Pelo passo anterior T^{100}=T^{1}=T. Assim, aplicando a definição inicial:
T^{100}(\vec{x})=T(\,x_{1},x_{2},x_{3}\,)=\bigl(x_{2},x_{3},x_{1}\bigr).

Resposta

T\bigl(T\bigl(T(\vec{x})\bigr)\bigr)=\bigl(x_{1},x_{2},x_{3}\bigr)
T^{100}(\vec{x})=\bigl(x_{2},x_{3},x_{1}\bigr)

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