A transformação “cíclica”
é definida por
. Quanto vale
? Quanto vale
?
Passo 1
O enunciado dá a transformação cíclica
definida por
e pede duas coisas:
- calcular
; - calcular
.
Também cabe anotar que vou usar
como vetor genérico e que por
entende-se
composta consigo mesma
vezes (ou seja,
,
, etc.).
Passo 2
Vamos aplicar
uma vez, lembrando explicitamente cada componente:
Isto significa: o primeiro componente vira o segundo, o segundo vira o terceiro e o terceiro vira o primeiro.
Passo 3
Agora aplico
sobre o resultado anterior para obter
. Começo com
e aplico
novamente:
Aqui cada componente “anda” mais um passo na ciclagem: o que era em posição 1 vai para a 2, depois para a 3, etc.
Passo 4
Agora faço a terceira aplicação para obter
. Parto de
e aplico
:
Ou seja, após três aplicações voltamos exatamente ao vetor original
.
Passo 5
Interpretação e conclusão para a primeira pergunta. Como
para todo vetor
, a composição tripla é a transformação identidade. Em palavras simples: três rotações cíclicas devolvem cada componente ao seu lugar original. Portanto
Passo 6
Agora para
. Observamos que as potências de
se repetem com período
porque
. Isso significa que, para qualquer inteiro não negativo
, basta reduzir
módulo
para saber qual potência aparece:
Calculamos
. Como
temos
Passo 7
Conclusão para
. Pelo passo anterior
. Assim, aplicando a definição inicial: