Uma matriz 3 times 3 tem três produtos “para a direita” e três “para a esquerda” com sinais de menos. Calcule os seis termos como (1)(5)(9)=45 para encontrar D.
D=|lll 1 & 2 & 3 4 & 5 & 6 7 & 8 & 9 |
Explique sem determinantes por que esta matriz particular é ou não é invertível.

Passo 1

O enunciado pede para calcular o determinante de
D= 1 & 2 & 3 4 & 5 & 6 7 & 8 & 9
usando a regra de Sarrus (três produtos na “direita” menos três na “esquerda”) e, em seguida, explicar sem recorrer a determinantes se a matriz é invertível. Vamos usar no cálculo a técnica de Sarrus e, depois, o conceito de dependência linear de linhas.

Passo 2

Aplicando Sarrus, somamos os produtos das diagonais “para a direita”:
(1)(5)(9)+(2)(6)(7)+(3)(4)(8) =45+84+96=225
e subtraímos os produtos das diagonais “para a esquerda”:
(3)(5)(7)+(1)(6)(8)+(2)(4)(9) =105+48+72=225

Passo 3

Portanto
D = 225 - 225 = 0
Como D=0, a matriz é singular (não tem inversa). Mas ainda vamos justificar isso sem usar determinantes.

Passo 4

Observe as linhas da matriz:
R1=(1,2,3), R2=(4,5,6), R3=(7,8,9)
Note que
R1 - 2,R2 + R3 =(1,2,3)-2,(4,5,6)+(7,8,9) =(0,0,0)
Isto é, existe combinação linear não trivial das linhas que dá o vetor zero, logo as linhas são linearmente dependentes. Por definição, uma matriz cujas linhas (ou colunas) são dependentes não é invertível.

Resposta

O determinante é D=0, e a matriz não é invertível porque suas linhas são linearmente dependentes.

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