O determinante n times n Cn tem 1’s acima e abaixo da diagonal principal:
C1=|0| C2=|ll 0 & 1 1 & 0 | C3=|lll 0 & 1 & 0 1 & 0 & 1 0 & 1 & 0 | C4=|llll 0 & 1 & 0 & 0 1 & 0 & 1 & 0 0 & 1 & 0 & 1 0 & 0 & 1 & 0 |
(a) Quais são esses determinantes C1, C2, C3, C4 ?
(b) Por cofatores, encontre a relação entre Cn e Cn-1 e Cn-2. Encontre C10.

Passo 1

O enunciado define Cn como o determinante de ordem n de uma matriz tridiagonal com zeros na diagonal principal e uns nas sub- e superdiagonais. Precisamos calcular diretamente C1,C2,C3,C4, depois usar desenvolvimento por cofatores (ou a fórmula geral para determinantes tridiagonais) para obter uma relação de recorrência entre Cn, Cn-1 e Cn-2, e por fim achar C10.

Passo 2

Calculando C1 e C2 diretamente:
C1 = l|0r| = 0
C2 = 0 & 11 & 0 =0cdot0 - 1cdot1 = -1

Passo 3

Para C3 expandimos pela primeira linha:
C3 = 0 & 1 & 0 1 & 0 & 1 0 & 1 & 0 =0cdot M11 -1cdot M12 +0cdot M13 =-1cdot1&10&0 =0
Como efeito prático, usando a recorrência futura já vemos C3=-C1=0.
Para C4 podemos igualmente usar ;C4=-C2;, obtendo
C4 = -(-1) = 1

Passo 4

Existe uma fórmula geral para o determinante Dn de uma matriz tridiagonal com diagonais ai e sub-/superdiagonais bi:
Dn = an,Dn-1 ;-; bn-1^2,Dn-2
No nosso caso temos ai=0 e bi=1, logo
Cn = 0cdot Cn-1 - 1cdot Cn-2 = -,Cn-2
Note que Cn-1 não aparece porque seu coeficiente é zero.

Passo 5

Com a recorrência Cn=-Cn-2 e os valores iniciais C1=0, C2=-1, segue que para n par
Cn = (-1)^n/2
Em particular,
C10 = (-1)^10/2 = (-1)^5 = -1

Resposta

(a) C1=0, C2=-1, C3=0, C4=1
(b) Cn=-Cn-2 e C10=-1

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