Verifique, em cada caso, se a série dada é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou div gente:
\sum_{n=2}^{\infty} \frac{(-1)^{n+1}}{n \ln ^{2} n}.

Passo 1

O enunciado dá a série
\sum_{n=2}^{\infty} \frac{(-1)^{n+1}}{n\ln^{2} n}
e pede para classificar se ela é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • O termo geral é a_n=\dfrac{(-1)^{n+1}}{n\ln^{2} n} para n\ge2.
  • Os valores absolutos dos termos são |a_n| = \dfrac{1}{n\ln^{2} n}, que formam uma série de termos positivos.
  • A pergunta é: a série original converge? e, se sim, converge absolutamente (isto é, \sum |a_n| converge) ou apenas condicionalmente (isto é, \sum a_n converge mas \sum |a_n| diverge)?

Passo 2

Definições rápidas (úteis para decidir):
  • Uma série \sum a_n é absolutamente convergente se a série de termos positivos \sum |a_n| converge.
  • Se \sum a_n converge mas \sum |a_n| diverge, dizemos que a série converge condicionalmente.
    Estratégia do raciocínio: analisar primeiro a série dos valores absolutos
\sum_{n=2}^{\infty} \frac{1}{n\ln^{2} n}.
Se esta série positiva converge, então a série original converge absolutamente (e não é apenas condicional). Para testar \sum_{n=2}^{\infty} \dfrac{1}{n\ln^{2} n} vou usar o Teste da Integral, que é apropriado cuando temos uma função positiva e decrescente aproximando os termos.
Antes de aplicar a integral, é preciso verificar que a função contínua correspondente é positiva e decrescente para x\ge2.

Passo 3

Definir a função associada e verificar monotonicidade:
Considere a função contínua
f(x)=\frac{1}{x\ln^{2} x},\qquad x>1,
que é positiva para x>1 (pois \ln x>0 para x>1). Agora calcule a derivada para ver se f é decrescente:
Primeiro, o denominador é D(x)=x\ln^{2}x. Sua derivada é
D'(x)=\frac{d}{dx}\big(x\ln^{2}x\big)=\ln^{2}x + x\cdot 2\ln x\cdot\frac{1}{x}=\ln^{2}x+2\ln x=\ln x\big(\ln x+2\big).
Como f(x)=D(x)^{-1}, tem-se
f'(x)=-\frac{D'(x)}{D(x)^{2}}=-\frac{\ln x\big(\ln x+2\big)}{x^{2}\ln^{4}x}.
Cancelando um fator \ln x (válido para x>1) obtemos uma forma mais simples
f'(x)=-\frac{\ln x+2}{x^{2}\ln^{3}x}.
Para x>1 temos \ln x>0, logo \ln x+2>0 e o denominador é positivo; portanto f'(x)<0 para todo x>1. Conclusão: f é decrescente em [2,\infty). Assim os termos b_n=f(n)=\dfrac{1}{n\ln^{2}n} formam uma sequência positiva decrescente, condição que permite aplicar o Teste da Integral.

Passo 4

Aplicação do Teste da Integral:
O Teste da Integral diz que, se f é positiva, contínua e decrescente em [2,\infty), então a série \sum_{n=2}^{\infty} f(n) converge se, e somente se, a integral imprópria \int_{2}^{\infty} f(x)\,dx converge.
Calcule a integral
\int_{2}^{\infty}\frac{1}{x\ln^{2}x}\,dx.
Faça a substituição u=\ln x. Então du=\dfrac{dx}{x} e quando x=2 temos u=\ln 2, quando x\to\infty temos u\to\infty. A integral fica
\int_{\ln 2}^{\infty}\frac{1}{u^{2}}\,du.
Essa integral é elementar:
\int_{\ln 2}^{\infty} u^{-2}\,du = \left[-\frac{1}{u}\right]_{u=\ln 2}^{u\to\infty} =0 -\left(-\frac{1}{\ln 2}\right)=\frac{1}{\ln 2},
que é finita. Portanto a integral converge, e pelo Teste da Integral a série dos valores absolutos
\sum_{n=2}^{\infty}\frac{1}{n\ln^{2}n}
converge.

Passo 5

Conclusão lógica:
  • Como \sum_{n=2}^{\infty}\dfrac{1}{n\ln^{2}n} converge, a série original \sum_{n=2}^{\infty}\dfrac{(-1)^{n+1}}{n\ln^{2}n} converge em módulo — isto é, converge absolutamente.
  • Observação didática extra (para fixar a ideia): existe o fato conhecido de que as séries da forma \sum \dfrac{1}{n(\ln n)^{p}} com n\ge2 convergem se e somente se p>1. Aqui p=2>1, então a convergência absoluta também poderia ser vista a partir desse critério padrão. Além disso, mesmo sem provar a convergência absoluta, poderíamos aplicar o Teste de Leibniz (série alternante) para ver que a série original converge condicionalmente — mas como já mostramos que \sum |a_n| converge, a classificação correta é absoluta.

Resposta

absolutamente convergente.

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