Verifique, em cada caso, se a série dada é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou div gente:
.
Passo 1
O enunciado dá a série
e pede para classificar se ela é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
- O termo geral é
para . - Os valores absolutos dos termos são
, que formam uma série de termos positivos. - A pergunta é: a série original converge? e, se sim, converge absolutamente (isto é,
converge) ou apenas condicionalmente (isto é, converge mas diverge)?
Passo 2
Definições rápidas (úteis para decidir):
- Uma série
é absolutamente convergente se a série de termos positivos converge. - Se
converge mas diverge, dizemos que a série converge condicionalmente.
Estratégia do raciocínio: analisar primeiro a série dos valores absolutos
Se esta série positiva converge, então a série original converge absolutamente (e não é apenas condicional). Para testar
vou usar o Teste da Integral, que é apropriado cuando temos uma função positiva e decrescente aproximando os termos.
Antes de aplicar a integral, é preciso verificar que a função contínua correspondente é positiva e decrescente para
.
Passo 3
Definir a função associada e verificar monotonicidade:
Considere a função contínua
Considere a função contínua
que é positiva para
(pois
para
). Agora calcule a derivada para ver se
é decrescente:
Primeiro, o denominador é . Sua derivada é
Primeiro, o denominador é
Como
, tem-se
Cancelando um fator
(válido para
) obtemos uma forma mais simples
Para
temos
, logo
e o denominador é positivo; portanto
para todo
. Conclusão:
é decrescente em
. Assim os termos
formam uma sequência positiva decrescente, condição que permite aplicar o Teste da Integral.
Passo 4
Aplicação do Teste da Integral:
O Teste da Integral diz que, se é positiva, contínua e decrescente em
, então a série
converge se, e somente se, a integral imprópria
converge.
O Teste da Integral diz que, se
Calcule a integral
Faça a substituição
. Então
e quando
temos
, quando
temos
. A integral fica
Essa integral é elementar:
que é finita. Portanto a integral converge, e pelo Teste da Integral a série dos valores absolutos
converge.
Passo 5
Conclusão lógica:
- Como
converge, a série original converge em módulo — isto é, converge absolutamente. - Observação didática extra (para fixar a ideia): existe o fato conhecido de que as séries da forma
com convergem se e somente se . Aqui , então a convergência absoluta também poderia ser vista a partir desse critério padrão. Além disso, mesmo sem provar a convergência absoluta, poderíamos aplicar o Teste de Leibniz (série alternante) para ver que a série original converge condicionalmente — mas como já mostramos que converge, a classificação correta é absoluta.
Resposta
absolutamente convergente.