O núcleo da transformação linear T: \mathbb{R}^{3} \rightarrow \mathbb{R}^{2} dada por T(x, y, z)=(x-z, y-z) é gerado pelo vetor (1,-1,-1).
Verdadeiro
Falso

Passo 1

O enunciado define a transformação linear T\colon \mathbb{R}^{3}\to\mathbb{R}^{2} por
T(x,y,z) = (\,x - z,\,y - z\,)
e afirma que o núcleo de T (ou seja, \ker(T)=\{(x,y,z)\mid T(x,y,z)=(0,0)\}) é gerado pelo vetor (1,-1,-1). Vamos verificar se isso é verdadeiro analisando as equações que caracterizam \ker(T).

Passo 2

Para ter (x,y,z)\in\ker(T) precisamos de
x - z = 0 \quad\text{e}\quad y - z = 0.
Da primeira equação segue x = z e da segunda y = z. Logo
\ker(T) = \{(z,z,z)\mid z\in\mathbb{R}\} = \Span\{(1,1,1)\}.
Esse subespaço não coincide com \Span\{(1,-1,-1)\}, pois (1,-1,-1) não satisfaz x=z e y=z (a menos de ser o vetor nulo).

Resposta

Falso

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