Sejam e e um operador linear em tal que .
(a) Para que valores de e o operador é um isomorfismo?
Passo 1
O enunciado define três vetores em :
e um operador linear cuja imagem é .
Queremos saber para quais valores de esse operador é um isomorfismo.
Conteúdo: teoria de isomorfismo em espaços de dimensão finita e condição de independência linear (determinante não-nulo).
Passo 2
Em , um operador linear é isomorfismo se, e somente se, é bijetivo.
Como , basta que tenha dimensão 3, ou seja, que seja um conjunto de vetores linearmente independentes.
Passo 3
Para testar independência linear, colocamos como colunas de uma matriz e exigimos :
Passo 4
Calculamos o determinante de M por expansão na primeira linha:
det M = 1cdotdet0 & b 1 & c - acdotdet2 & b -1 & c +1cdotdet2 & 0 -1 & 1