Sejam u1=(1,2,-1), u2=(a, 0,1) e u3=(1, b, c) e T um operador linear em R^3 tal que Im T=[u1, u2, u3].
(a) Para que valores de a, b e c o operador é um isomorfismo?

Passo 1

O enunciado define três vetores em R^3:
u1 = (1,2,-1), u2 = (a,0,1), u3 = (1,b,c),
e um operador linear T:R^3toR^3 cuja imagem é
Im,T = spanu1,u2,u3.
Queremos saber para quais valores de a,b,c esse operador é um isomorfismo.
Conteúdo: teoria de isomorfismo em espaços de dimensão finita e condição de independência linear (determinante não-nulo).

Passo 2

Em R^3, um operador linear T é isomorfismo se, e somente se, é bijetivo.
Como dimR^3=3, basta que Im,T tenha dimensão 3, ou seja, que u1,u2,u3 seja um conjunto de vetores linearmente independentes.

Passo 3

Para testar independência linear, colocamos u1,u2,u3 como colunas de uma matriz M e exigimos det Mneq 0:
M = 1 & a & 1 2 & 0 & b -1 & 1 & c

Passo 4

Calculamos o determinante de M por expansão na primeira linha:
det M = 1cdotdet0 & b 1 & c - acdotdet2 & b -1 & c +1cdotdet2 & 0 -1 & 1
Cada cofator é
det0 & b 1 & c = 0cdot c - bcdot1 = -b,
det2 & b -1 & c = 2c - (-1),b = 2c + b,
det2 & 0 -1 & 1 = 2cdot1 - 0cdot(-1) = 2
Logo
det M = (-b) - a(2c+b) + 2 = 2 - b - a(2c + b)

Resposta

O operador T é isomorfismo se, e somente se,
det M = 2 - b - a,(2c + b) neq 0

Exercícios relacionados