Se a matriz de uma transformação linear, , é , onde B=(-1,1),(1,0) e C=(1,1,-1),(2,1,0),(1,1,0) são bases de R^2 e R^3 respectivamente.
(a) Encontre a expressão de T(x, y) e a matriz da transformação com respeito às bases canônicas de cada espaço.
(b) Qual a imagem do vetor (2,-3) pela T ?
(c) ^* Se T(v)=(2,4,-2), calcule v.
Passo 1
O enunciado dá uma transformação linear TcolonR^2toR^3 cuja matriz em relação às bases B=(-1,1),(1,0) no domínio e C=(1,1,-1),(2,1,0),(1,1,0) no contradomínio é
[T]C^B = 3 & 1 2 & 5 1 & -1
Pede-se:
(a) a expressão de T(x,y) e a matriz de T nas bases canônicas de R^2 e R^3;
(b) a imagem de (2,-3);
(c) se T(v)=(2,4,-2), achar v.
O conteúdo principal é mudança de base de matrizes e aplicação de sistemas lineares.
Passo 2
Encontramos primeiro as matrizes de mudança de base.
A matriz cujas colunas são os vetores de B (passando de coordenadas em B para coordenadas canônicas) é
PB = -1 & 1 1 & 0
Invertendo, achamos
PB^-1 = 0 & 1 1 & 1 ,
pois PBPB^-1=I2.
A matriz cujas colunas são os vetores de C (de coordenadas em C para canônicas) é
PC = 1 & 2 & 1 1 & 1 & 1 -1 & 0 & 0
Passo 3
Para obter a matriz de T nas bases canônicas usamos a fórmula