Se a matriz de uma transformação linear, T: R^2 R^3, é [T]C^B=[rr3 & 1 2 & 5 1 & -1], onde B= (-1,1),(1,0) e C=(1,1,-1),(2,1,0),(1,1,0) são bases de R^2 e R^3 respectivamente.
(a) Encontre a expressão de T(x, y) e a matriz da transformação com respeito às bases canônicas de cada espaço.
(b) Qual a imagem do vetor (2,-3) pela T ?
(c) ^* Se T(v)=(2,4,-2), calcule v.

Passo 1

O enunciado dá uma transformação linear TcolonR^2toR^3 cuja matriz em relação às bases
B=(-1,1),(1,0) no domínio e
C=(1,1,-1),(2,1,0),(1,1,0) no contradomínio é
[T]C^B = 3 & 1 2 & 5 1 & -1
Pede-se:
(a) a expressão de T(x,y) e a matriz de T nas bases canônicas de R^2 e R^3;
(b) a imagem de (2,-3);
(c) se T(v)=(2,4,-2), achar v.
O conteúdo principal é mudança de base de matrizes e aplicação de sistemas lineares.

Passo 2

Encontramos primeiro as matrizes de mudança de base.
A matriz cujas colunas são os vetores de B (passando de coordenadas em B para coordenadas canônicas) é
PB = -1 & 1 1 & 0
Invertendo, achamos
PB^-1 = 0 & 1 1 & 1 ,
pois PBPB^-1=I2.
A matriz cujas colunas são os vetores de C (de coordenadas em C para canônicas) é
PC = 1 & 2 & 1 1 & 1 & 1 -1 & 0 & 0

Passo 3

Para obter a matriz de T nas bases canônicas usamos a fórmula
A ;=; PC,[T]C^B;PB^-1
Calculemos primeiro PC,[T]C^B:
PC,[T]C^B = 1 & 2 & 1 1 & 1 & 1 -1 & 0 & 0 , 3 & 1 2 & 5 1 & -1 = 8 & 10 6 & 5 -3 & -1
Agora multiplicamos por PB^-1:
A = 8 & 10 6 & 5 -3 & -1 0 & 1 1 & 1 = 10 & 18 5 & 11 -1 & -4

Passo 4

Da matriz A nas bases canônicas, lemos diretamente
T(x,y) = l(10x+18y,;5x+11y,;-,x-4yr)

Passo 5

Para a imagem de (2,-3) basta substituir:
T(2,-3) = l(10cdot2+18cdot(-3),;5cdot2+11cdot(-3),;-2-4cdot(-3)r) = (-34,,-23,,10)

Passo 6

Para resolver
Das duas primeiras equações obtemos , mas ao testar na terceira fica
. Logo o sistema é inconsistente, ou seja, não existe tal que .

Resposta

(a) A matriz canônica de T é
10 & 18 5 & 11 -1 & -4 ,
logo
T(x,y)=(10x+18y,;5x+11y,;-x-4y)
(b) T(2,-3)=(-34,-23,10).
(c) Não existe vinR^2 tal que T(v)=(2,4,-2).

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