Uma matriz triangular estritamente superior é uma matriz triangular superior cujas entradas da diagonal são 0 , isto é, ai j=0 se i >= j. Seja S é uma matriz triangular estritamente superior n times n e sejam e1, e2, ldots, en os vetor coluna correspondentes à base canônica do R^n.
Mostre que S ek é a k-ésima coluna de S.

Passo 1

O enunciado dá uma matriz SinR^ntimes n e os vetores da base canônica e1,dots,en de R^n. Queremos mostrar que, ao multiplicar S pelo vetor ek, obtemos exatamente a coluna k de S. Para isso vamos usar a definição de multiplicação de matriz por vetor e a propriedade de ek, que tem componente 1 na posição k e 0 nas demais.

Passo 2

Pela definição de multiplicação, o i-ésimo componente do produto Sek é
(Sek)i =sumj=1^nSij,(ek)j
Como (ek)j=1 se j=k e (ek)j=0 para jneq k, a soma colapsa para
(Sek)i = Si,k
Isto significa que
Sek = S1k S2k vdots Snk ,
que é exatamente a k-ésima coluna de S.

Resposta

Sek é a k-ésima coluna de S.

Exercícios relacionados