Este problema conduz a uma prova do fato de que a multiplicidade algébrica de um autovalor de uma matriz A de tamanho n times n é maior do que ou igual à multiplicidade geométrica. Para isso, suponha que lambda0 seja um autovalor de multiplicidade geométrica k.
Seja P a matriz cujos vetores coluna são os vetores de B. Prove que o produto AP pode ser dado por
A P=P[cc lambda0 Ik & X 0 & Y ]
[Sugestão: compare os k primeiros vetores coluna de ambos os lados.]

Passo 1

O enunciado considera uma matriz AinK^ntimes n e um autovalor lambda0 cuja multiplicidade geométrica é k. Isso significa que existem k vetores linearmente independentes v1,dots,vk tais que
A,vi=lambda0,vi, i=1,dots,k
Estendemos v1,dots,vk a uma base B=v1,dots,vk,wk+1,dots,wn de K^n. Definimos a matriz P cujas colunas são exatamente esses vetores de B:
P=l[v1;dots;vk;wk+1;dots;wnr]
Queremos provar que existe uma matriz em blocos
M=lambda0Ik&X[6pt]0&Y
tanto que
A,P = P,M ]

Passo 2

Observe que A,P é a matriz cujas colunas são A vezes cada coluna de P. Para as primeiras k colunas, que são v1,dots,vk, temos por serem autovetores
A,vi=lambda0,vi, i=1,dots,k
Logo, as primeiras k colunas de A,P são
l[lambda0v1;dots;lambda0vkr] =l[v1;dots;vkr];lambda0Ik

Passo 3

Para cada coluna wj com j=k+1,dots,n, o vetor A,wj pode ser expresso em coordenadas na base B:
A,wj =sumi=1^kXi,j-k,vi +sumi=k+1^nY,i-k,j-k,wi,
once X é uma matriz ktimes(n-k) e Y é uma matriz (n-k)times(n-k). Isso garante que as colunas k+1 até n de A,P sejam exatamente
l[v1;dots;vk;wk+1;dots;wnr] X[3pt]Y ]

Passo 4

Reunindo as duas partes, vemos que
A,P =l[v1dots vk;wk+1dots wnr] lambda0Ik&X[3pt]0&Y = P lambda0Ik&X[3pt]0&Y
Isto é exatamente a forma em blocos desejada.]

Resposta

A,P = P lambda0Ik & X [6pt] 0 & Y ]

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