Este problema conduz a uma prova do fato de que a multiplicidade algébrica de um autovalor de uma matriz de tamanho é maior do que ou igual à multiplicidade geométrica. Para isso, suponha que seja um autovalor de multiplicidade geométrica .
Seja a matriz cujos vetores coluna são os vetores de . Prove que o produto AP pode ser dado por
[Sugestão: compare os k primeiros vetores coluna de ambos os lados.]
Passo 1
O enunciado considera uma matriz AinK^ntimes n e um autovalor lambda0 cuja multiplicidade geométrica é k. Isso significa que existem k vetores linearmente independentes v1,dots,vk tais que
A,vi=lambda0,vi, i=1,dots,k
Estendemos v1,dots,vk a uma base B=v1,dots,vk,wk+1,dots,wn de K^n. Definimos a matriz P cujas colunas são exatamente esses vetores de B:
P=l[v1;dots;vk;wk+1;dots;wnr]
Queremos provar que existe uma matriz em blocos
M=lambda0Ik&X[6pt]0&Y
tanto que
A,P = P,M ]
Passo 2
Observe que A,P é a matriz cujas colunas são A vezes cada coluna de P. Para as primeiras k colunas, que são v1,dots,vk, temos por serem autovetores