Uma matriz triangular estritamente superior é uma matriz triangular superior cujas entradas da diagonal são 0 , isto é,
se
. Seja
é uma matriz triangular estritamente superior
e sejam
os vetor coluna correspondentes à base canônica do
.
Mostre que
e que
é uma combinação linear dos vetores
.
Mostre que
Passo 1
O enunciado dá uma matriz
de ordem
tal que
ou seja, todos os elementos da diagonal e abaixo dela são zero. Queremos calcular o produto
, onde
são os vetores da base canônica de
. Lembrando que a definição de produto de matriz por vetor implica que a coluna
de
é justamente
.
Passo 2
Para
, o vetor
tem componente 1 apenas na posição 1. Assim, para cada
,
Mas como
para todo
, a condição de estritamente triangular superior dá
. Logo todas as coordenadas de
são zero, ou seja,
Passo 3
Agora seja
. De novo, para cada
vale
Pela definição de matriz estritamente triangular superior,
sempre que
. Portanto as únicas componentes possivelmente não nulas de
ocorrem para
. Escrevemos então
que é claramente uma combinação linear de
.
Resposta
isto é,
é combinação linear de
.