Uma matriz triangular estritamente superior é uma matriz triangular superior cujas entradas da diagonal são 0 , isto é, ai j=0 se i >= j. Seja S é uma matriz triangular estritamente superior n times n e sejam e1, e2, ldots, en os vetor coluna correspondentes à base canônica do R^n.
Mostre que S e1=0 e que S ek é uma combinação linear dos vetores e1, e2, ldots, ek-1.

Passo 1

O enunciado dá uma matriz S=(sij) de ordem n tal que
sij=0sempre que i>= j
ou seja, todos os elementos da diagonal e abaixo dela são zero. Queremos calcular o produto S ek, onde e1,dots,en são os vetores da base canônica de R^n. Lembrando que a definição de produto de matriz por vetor implica que a coluna k de S é justamente S ek.

Passo 2

Para k=1, o vetor e1 tem componente 1 apenas na posição 1. Assim, para cada i=1,dots,n,
(Se1)i ;=;sumj=1^n sij,(e1)j ;=;si1
Mas como i>=1 para todo i, a condição de estritamente triangular superior dá si1=0. Logo todas as coordenadas de Se1 são zero, ou seja,
Se1=0

Passo 3

Agora seja 2<= k<= n. De novo, para cada i vale
(Sek)i ;=;sumj=1^n sij,(ek)j ;=;sik
Pela definição de matriz estritamente triangular superior, sik=0 sempre que i>= k. Portanto as únicas componentes possivelmente não nulas de Sek ocorrem para i<k. Escrevemos então
Sek ;=;sumi=1^k-1sik,ei,
que é claramente uma combinação linear de e1,e2,dots,ek-1.

Resposta

Se1=0 e, para 2<= k<= n,
Sek=sumi=1^k-1sik,ei,
isto é, Sek é combinação linear de e1,dots,ek-1.

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