Nas matrizes abaixo (a) determine k de modo que \operatorname{Nul}(A) seja um subespaço de \mathbb{R}^{k} e (b) determine k de modo que \operatorname{Col}(A) seja um subespaço de \mathbb{R}^{k}.
a) A=\left[\begin{array}{rr}6 & -4 \\\\ -3 & 2 \\\\ -9 & 6 \\\\ 9 & -6\end{array}\right]

Passo 1

O enunciado pede dois valores de k:
  1. Um tal que \operatorname{Nul}(A) seja subespaço de \mathbb{R}^k.
  2. Outro tal que \operatorname{Col}(A) seja subespaço de \mathbb{R}^k.
    Sabemos da teoria de espaços fundamentais que, para uma matriz A\in\mathbb{R}^{m\times n},
  • \operatorname{Nul}(A)\subseteq\mathbb{R}^n,
  • \operatorname{Col}(A)\subseteq\mathbb{R}^m.

Passo 2

No caso dado,
A=\begin{pmatrix} 6 & -4\\\\ -3 & 2\\\\ -9 & 6\\\\ 9 & -6 \end{pmatrix}
é uma matriz de m=4 linhas e n=2 colunas, ou seja A\in\mathbb{R}^{4\times2}.

Passo 3

Pelo item anterior:
  • \operatorname{Nul}(A)\subseteq\mathbb{R}^n=\mathbb{R}^2, logo para o núcleo k=2.
  • \operatorname{Col}(A)\subseteq\mathbb{R}^m=\mathbb{R}^4, logo para a coluna k=4.

Resposta

Para A dado:
(a) \operatorname{Nul}(A) é subespaço de \mathbb{R}^2, ou seja k=2.
(b) \operatorname{Col}(A) é subespaço de \mathbb{R}^4, ou seja k=4.

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