Use um teorema apropriado em cada caso para mostrar que o conjunto \boldsymbol{W} dado é um espaço vetorial, ou obtenha um exemplo que mostre o contrário.
\boldsymbol{W}=\left\{\left[\begin{array}{c}s-2 t \\\ 3+3 s \\\ 3 s+t \\\ 2 s\end{array}\right]: s, t \in \mathbb{R}\right\}

Passo 1

O enunciado nos dá o conjunto
W = \bigl\{(s-2t,\;3+3s,\;3s+t,\;2s)\in\mathbb{R}^4 : s,t\in\mathbb{R}\bigr\}
e pede para mostrar se W é ou não um subespaço vetorial de \mathbb{R}^4. Vamos usar o teste de subespaço, que diz que um subconjunto W de um espaço vetorial V é subespaço se, e somente se, (i) \mathbf{0}\in W, (ii) W é fechado sob soma e (iii) W é fechado sob multiplicação por escalar.

Passo 2

Verificamos a presença do vetor nulo \mathbf{0}=(0,0,0,0) em W. Precisamos achar s,t tais que
(s-2t,\;3+3s,\;3s+t,\;2s) = (0,0,0,0).
Isso gera o sistema
\begin{cases} s - 2t = 0,\\\\ 3 + 3s = 0,\\\\ 3s + t = 0,\\\\ 2s = 0. \end{cases}

Passo 3

Da última equação \,2s=0, segue \,s=0. Substituindo em 3+3s=0 obtemos 3+0\neq0. Logo não há solução para o sistema, e portanto \mathbf{0}\notin W.

Passo 4

Como W não contém o vetor nulo, pelo teste de subespaço concluímos imediatamente que W não é subespaço de \mathbb{R}^4. Em outras palavras, W não é um espaço vetorial.

Resposta

W não é espaço vetorial, pois falha a condição \mathbf{0}\in W.

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