Use um teorema apropriado em cada caso para mostrar que o conjunto \boldsymbol{W} dado é um espaço vetorial, ou obtenha um exemplo que mostre o contrário.
\boldsymbol{W}=\left\{\left[\begin{array}{c}p \q \r \s\end{array}\right]:\left\{\begin{array}{l}p-3 q=4 s \\\ 2 p=s+5 r\end{array}\right.\right\}

Passo 1

O enunciado define
W=\Bigl\{(p,q,r,s)\in\mathbb R^4 \mid p-3q=4s,\;2p=s+5r\Bigr\}
e pede para mostrar se W é ou não um subespaço de \mathbb R^4. O conteúdo usado será o Teorema de que o núcleo de uma transformação linear é subespaço, ou, equivalentemente, que o conjunto solução de um sistema homogêneo de equações lineares é um subespaço.

Passo 2

Definimos a transformação linear
T:\mathbb R^4\to\mathbb R^2, \qquad T(p,q,r,s) = \begin{pmatrix} p-3q-4s\\[6pt] 2p-(s+5r) \end{pmatrix}.
É claro que T é linear pois cada componente é combinação linear das coordenadas (p,q,r,s).]

Passo 3

Repare que
\ker T =\{(p,q,r,s)\in\mathbb R^4 \mid T(p,q,r,s)=(0,0)\}
é exatamente o conjunto das soluções do sistema
\begin{cases} p-3q-4s=0,\\\\ 2p-s-5r=0, \end{cases}
isto é, \ker T=W.

Passo 4

Pelo Teorema, \ker T é sempre um subespaço de \mathbb R^4. Logo W é subespaço de \mathbb R^4.

Resposta

W é um subespaço de \mathbb R^4.

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