Para as matrizes abaixo, determine os valores de x e y para que sua inversa exista.
ccc-1 & 0 & 1 1 & x & 2 -3 & 1 & x

Passo 1

A questão pede para determinar os valores de x de modo que a matriz abaixo seja invertível. O conteúdo aqui é matriz inversível, isto é, precisamos que o determinante seja diferente de zero.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever a matriz A e calcular det(A) por expansão na primeira linha. Temos:
A=-1 & 0 & 1 1 & x & 2 -3 & 1 & x
[
\det(A)= -1 \cdot \det x & 2 1 & x - 0 \cdot (\cdots) + 1 \cdot \det 1 & x -3 & 1

Passo 3

Agora simplificamos cada determinante 2×2:
detx & 2 1 & x= xcdot x - 2cdot1 = x^2 - 2,
det1 & x -3 & 1= 1cdot1 - xcdot(-3) = 1 + 3x
Substituindo em det(A):
det(A)= -1,(x^2 - 2) + (1 + 3x) = -x^2 + 2 + 3x + 1 = -x^2 + 3x + 3

Passo 4

Para que a inversa exista, exigimos det(A) neq 0. Logo:
-x^2 + 3x + 3 neq 0 Long<=ftrightarrow x^2 - 3x - 3 neq 0

Passo 5

Determinamos as raízes do polinômio x^2 - 3x - 3 = 0 usando a fórmula de Bhaskara, obtendo
x = 3 pm raiz9 + 122 = 3 pm raiz212

Passo 6

Portanto, a condição para a matriz ser invertível é que x não seja nenhuma dessas raízes.

Resposta

x \neq \frac{3 + \sqrt{21}}{2},\quad x \neq \frac{3 - \sqrt{21}}{2}

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