Para as matrizes abaixo, determine os valores de x e y para que sua inversa exista.
ccc-1 & 0 & y 1 & x & 2 -3 & 1 & x

Passo 1

Temos a matriz A=-1 & 0 & y1 & x & 2-3 & 1 & x e queremos encontrar os valores de x e y tais que a inversa de A exista. O conteúdo é determinante e invertibilidade de matrizes 3×3, e vamos precisar calcular det(A) e impor det(A)neq0.

Passo 2

Para calcular o determinante, expandimos pela primeira linha. O determinante fica:
det(A) = -1cdotdetx & 21 & x + 0 + ycdotdet1 & x-3 & 1

Passo 3

Agora calculamos cada menor:
detx & 21 & x = x^2 - 2, det1 & x-3 & 1 = 1 + 3x

Passo 4

Substituindo, obtemos
det(A) = -1,(x^2 - 2) + y,(1 + 3x) = -x^2 + 2 + y + 3xy

Passo 5

A condição de invertibilidade é det(A)neq0. Ou seja,
(1 + 3x),y - x^2 + 2 neq 0

Passo 6

Isolando y quando 1 + 3x neq 0, temos
y neq x^2 - 21 + 3x

Passo 7

No caso especial em que 1 + 3x = 0, isto é x = -tfrac13, o determinante vale
det(A)l|x=-1/3 = -l(-tfrac13r)^2 + 2 = -tfrac19 + 2 = tfrac179 neq 0, logo para x = -tfrac13 a matriz é sempre invertível, para qualquer y.

Resposta

A matriz é invertível se e somente se $ (1 + 3x)y \neq x^2 - 2$. Equivalentemente, para (1 + 3x)y neq x^2 - 2, deve valer x neq -tfrac13; e para y neq x^2 - 21 + 3x qualquer x = -tfrac13 serve.

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