Para as matrizes abaixo, determine os valores de x e y para que sua inversa exista.
ccc1 & 2 & y 0 & x & 2 1 & 2 & -2+y

Passo 1

O enunciado pede os valores de x e y para que a matriz quadrada de ordem 3 tenha inversa, ou seja, para que o seu determinante não seja zero. O conteúdo principal aqui é calcular o determinante e usar o fato de que uma matriz é invertível se, e somente se, det(A)neq0.

Passo 2

Vamos usar a regra de Laplace expandindo o determinante pela primeira linha. Sejam os menores correspondentes:
det(A)=1cdotdetx & 22 & y-2-2cdotdet0 & 21 & y-2+ycdotdet0 & x1 & 2

Passo 3

Agora calculamos cada um desses menores:
detx & 22 & y-2=x(y-2)-4,
det0 & 21 & y-2=0cdot(y-2)-2cdot1=-2,
det0 & x1 & 2=0cdot2 - xcdot1=-x

Passo 4

Substituindo esses resultados na expressão do determinante e simplificando, temos:
det(A)=[x(y-2)-4] -2cdot(-2) + ycdot(-x) =x(y-2)-4+4 -xy=-2x

Passo 5

Como det(A)=-2x, para que det(A)neq0 basta ter xneq0. Note que não apareceu nenhuma condição sobre y, então ele pode ser qualquer número real.

Resposta

x \neq 0 e y \in \mathbb{R}

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