1. Para o sistema abaixo, utilizando a regra de Cramer, determine o valor de x4.
& sumi=1^6 i^2 xi=6 & sumi=1^5 i^2 xi=5 & sumi=1^4 i^2 xi=4 & sumi=1^3 i^2 xi=3 & sumi=1^2 i^2 xi=2 & sumi=1^1 i^2 xi=1

Passo 1

Temos um sistema linear de 6 equações e 6 incógnitas gerado por somatórios ponderados de i²·x_i; o que queremos é x₄ usando a regra de Cramer. Precisaremos montar a matriz de coeficientes A, o vetor de termos constantes b, aplicar Cramer (x₄ = det(A₄)/det(A)), usar que matrizes triangulares têm determinante igual ao produto dos elementos da diagonal e usar expansão de Laplace e operações de linha para calcular det(A₄).

Passo 2

A matriz de coeficientes A e o vetor b correspondentes são:
A= 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 1 & 4 & 0 & 0 & 0 & 0 1 & 4 & 9 & 0 & 0 & 0 1 & 4 & 9 & 16 & 0 & 0 1 & 4 & 9 & 16 & 25 & 0 1 & 4 & 9 & 16 & 25 & 36 , b=123456

Passo 3

Pela regra de Cramer, x₄ = det(A₄)/det(A). Como A é triangular inferior,
det(A)=1cdot4cdot9cdot16cdot25cdot36=518400

Passo 4

A₄ é obtida substituindo a 4ª coluna de A por b:
A₄= 1 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 1 & 4 & 0 & 2 & 0 & 0 1 & 4 & 9 & 3 & 0 & 0 1 & 4 & 9 & 4 & 0 & 0 1 & 4 & 9 & 5 & 25 & 0 1 & 4 & 9 & 6 & 25 & 36

Passo 5

Para simplificar o cálculo de det(A₄), aplicamos para i = 6,5,…,2 a operação R_i ← R_i − R_{i−1}, que não altera o determinante. Isso leva a
M= 1 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 0 & 4 & 0 & 1 & 0 & 0 0 & 0 & 9 & 1 & 0 & 0 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 0 & 0 & 0 & 1 & 25 & 0 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 36

Passo 6

Agora calculamos det(A₄)=det(M) por expansão de Laplace:
  1. Expansão pela 1ª coluna dá det=1·det(M₁), com M₁ 5×5 eliminando linha 1 e coluna 1.
  2. Em M₁, expandimos pela 5ª linha e 5ª coluna para isolar o 36, restando uma 4×4.
  3. Nessa 4×4, expandimos pela 4ª linha e 4ª coluna para isolar o 25, restando uma 3×3 triangular com diagonal (4,9,1).
    Assim
det(A₄)=1times36times25times(4cdot9cdot1)=32400

Passo 7

Pela regra de Cramer, x₄=det(A₄)/det(A)=32400/518400

Resposta

1/16

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