- Para o sistema abaixo, utilizando a regra de Cramer, determine o valor de
.
Passo 1
Temos um sistema linear de 6 equações e 6 incógnitas gerado por somatórios ponderados de i²·x_i; o que queremos é x₄ usando a regra de Cramer. Precisaremos montar a matriz de coeficientes A, o vetor de termos constantes b, aplicar Cramer (x₄ = det(A₄)/det(A)), usar que matrizes triangulares têm determinante igual ao produto dos elementos da diagonal e usar expansão de Laplace e operações de linha para calcular det(A₄).
Passo 2
A matriz de coeficientes A e o vetor b correspondentes são:
Passo 3
Pela regra de Cramer, x₄ = det(A₄)/det(A). Como A é triangular inferior,
Passo 4
A₄ é obtida substituindo a 4ª coluna de A por b:
Passo 5
Para simplificar o cálculo de det(A₄), aplicamos para i = 6,5,…,2 a operação R_i ← R_i − R_{i−1}, que não altera o determinante. Isso leva a
Passo 6
Agora calculamos det(A₄)=det(M) por expansão de Laplace:
- Expansão pela 1ª coluna dá det=1·det(M₁), com M₁ 5×5 eliminando linha 1 e coluna 1.
- Em M₁, expandimos pela 5ª linha e 5ª coluna para isolar o 36, restando uma 4×4.
- Nessa 4×4, expandimos pela 4ª linha e 4ª coluna para isolar o 25, restando uma 3×3 triangular com diagonal (4,9,1).
Assim
Passo 7
Pela regra de Cramer, x₄=det(A₄)/det(A)=32400/518400
Resposta
1/16