Informações relevantes dadas: cada opção é uma matriz que representa uma transformação linear T:\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}^m (onde n é o número de colunas e m o número de linhas). A pergunta é verificar injetividade da transformação representada por cada matriz.]
Passo 2
O que significa “transformação linear injetiva” e como verificar isso (aulas rápidas, amigáveis e sem mistério):
Uma transformação linear T:\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}^m representada por uma matriz A é injetiva se e só se a equação A\mathbf{x}=\mathbf{0} tem somente a solução trivial \mathbf{x}=\mathbf{0}. Essa solução trivial significa que o núcleo (kernel) de A é \{\mathbf{0}\}.
Em termos de colunas da matriz: isso equivale a dizer que as colunas de A são linearmente independentes. Se as colunas são linearmente independentes, nenhum vetor coluna é combinação linear dos outros, então A\mathbf{x}=\mathbf{0} só tem a solução trivial.
Em termos de posto (rank): para A de tamanho m\times n, a transformação é injetiva ⇔ \operatorname{rank}(A)=n (posto igual ao número de colunas). Observação útil: \operatorname{rank}(A)\le \min\{m,n\}. Portanto, se n>m (mais colunas que linhas), é impossível ter \operatorname{rank}(A)=n; logo, a transformação não pode ser injetiva.
Resumo prático que vamos usar: verificar se o número de colunas n é maior que o número de linhas m (aí já dá para descartar), ou testar se as colunas são linearmente independentes (resolvendo combinação linear igual a zero ou observando múltiplos óbvios).
Passo 3
Escolhi o método baseado em postos/independência de colunas porque é o mais direto aqui: cada opção é uma matriz e a injetividade depende exatamente da independência das colunas. Para matrizes quadradas podemos usar determinante; para retangulares usamos o argumento de dimensão (n>m falha automaticamente) ou resolvemos a combinação linear c_1\mathbf{v}_1+\dots+c_n\mathbf{v}_n=\mathbf{0} e verificamos se só tem solução trivial.
Repare que \mathbf{v}_2=3\mathbf{v}_1 (multiplicando cada entrada de \mathbf{v}_1 por 3 obtemos \mathbf{v}_2). Portanto as colunas são linearmente dependentes, o posto \operatorname{rank}(A_A)=1<2. Conclusão: a transformação não é injetiva (existe vetor não nulo no kernel).]
Aqui m=2 e n=3. Pelo argumento de dimensão: \operatorname{rank}(A_B)\le \min\{m,n\}=\min\{2,3\}=2. Para ser injetiva precisaríamos de \operatorname{rank}(A_B)=n=3, o que é impossível porque o posto não pode ser maior que m=2. Portanto não é injetiva. (Intuitivamente: três vetores em \mathbb{R}^2 sempre são linearmente dependentes.)]
Também temos m=2 e n=3. Pelo mesmo argumento do passo anterior, não é possível ter \operatorname{rank}(A_C)=3 porque \operatorname{rank}(A_C)\le 2. Logo a transformação não é injetiva. (Observação: aqui as duas primeiras colunas são iguais, \begin{pmatrix}-1\\\ 1\end{pmatrix}, então já dá para ver dependência também.)]
Aqui m=3\) e \(n=2\). Para ser injetiva precisamos de \(\operatorname{rank}(A_D)=n=2\). Então precisamos verificar se as duas colunas são linearmente independentes. Chamemos as colunas de
\[\mathbf{u}_1=\begin{pmatrix}2\\[4pt]1\\[4pt]-1\end{pmatrix},\qquad \mathbf{u}_2=\begin{pmatrix}-1\\[4pt]-1\\[4pt]-2\end{pmatrix}.
Testamos a combinação linear nula: suponha a\mathbf{u}_1+b\mathbf{u}_2=\mathbf{0}. Isso gera o sistema (componente a componente)
\begin{cases} 2a - b = 0,\\[4pt] a - b = 0,\\[4pt] - a - 2b = 0. \end{cases}
Agora resolvemos passo a passo: da segunda equação a-b=0\] vem \(b=a. Substituindo na primeira equação 2a-b=0 dá 2a-a=0\Rightarrow a=0. Então b=0. A terceira equação fica -a-2b=0\Rightarrow 0=0, ou seja, não contradiz nada. O único par (a,b) que satisfaz é a=0,b=0, a solução trivial. Portanto as colunas são linearmente independentes, \operatorname{rank}(A_D)=2=n. Conclusão: a transformação representada por (D) é injetiva.]
Passo 8
Recapitulando os resultados: (A) não é injetiva porque as colunas são dependentes (\mathbf{v}_2=3\mathbf{v}_1). (B) e (C) não são injetivas porque têm mais colunas que linhas (n=3>m=2), logo impossível ter posto igual a n. (D) é injetiva pois suas duas colunas em \mathbb{R}^3 são linearmente independentes (mostrado resolvendo a combinação linear).
Você conseguiu! A opção correta é a (D). Continua com confiança — esses argumentos por posto e independência de colunas caem muito na prova.