Q3: Qual das matrizes abaixo representa uma transformação linear injetiva?
(A) \left[\begin{array}{rr}1 & 3 \\\\ 4 & 12\end{array}\right]
(B) \left[\begin{array}{lll}2 & 1 & -1 \\\\ 1 & 1 & -1\end{array}\right]
(C) \left[\begin{array}{rrr}-1 & -1 & -2 \\\\ 1 & 1 & -1\end{array}\right]
(D) \left[\begin{array}{rr}2 & -1 \\\\ 1 & -1 \\\\ -1 & -2\end{array}\right]
(E) Não sei

Passo 1

O enunciado pede: “Qual das matrizes abaixo representa uma transformação linear injetiva?” As opções são:
(A) \begin{bmatrix}1 & 3\\[4pt]4 & 12\end{bmatrix}
(B) \begin{bmatrix}2 & 1 & -1\\[4pt]1 & 1 & -1\end{bmatrix}
(C) \begin{bmatrix}-1 & -1 & -2\\[4pt]1 & 1 & -1\end{bmatrix}
(D) \begin{bmatrix}2 & -1\\[4pt]1 & -1\\[4pt]-1 & -2\end{bmatrix}
(E) Não sei
Informações relevantes dadas: cada opção é uma matriz que representa uma transformação linear T:\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}^m (onde n é o número de colunas e m o número de linhas). A pergunta é verificar injetividade da transformação representada por cada matriz.]

Passo 2

O que significa “transformação linear injetiva” e como verificar isso (aulas rápidas, amigáveis e sem mistério):
  • Uma transformação linear T:\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}^m representada por uma matriz A é injetiva se e só se a equação A\mathbf{x}=\mathbf{0} tem somente a solução trivial \mathbf{x}=\mathbf{0}. Essa solução trivial significa que o núcleo (kernel) de A é \{\mathbf{0}\}.
  • Em termos de colunas da matriz: isso equivale a dizer que as colunas de A são linearmente independentes. Se as colunas são linearmente independentes, nenhum vetor coluna é combinação linear dos outros, então A\mathbf{x}=\mathbf{0} só tem a solução trivial.
  • Em termos de posto (rank): para A de tamanho m\times n, a transformação é injetiva ⇔ \operatorname{rank}(A)=n (posto igual ao número de colunas). Observação útil: \operatorname{rank}(A)\le \min\{m,n\}. Portanto, se n>m (mais colunas que linhas), é impossível ter \operatorname{rank}(A)=n; logo, a transformação não pode ser injetiva.
Resumo prático que vamos usar: verificar se o número de colunas n é maior que o número de linhas m (aí já dá para descartar), ou testar se as colunas são linearmente independentes (resolvendo combinação linear igual a zero ou observando múltiplos óbvios).

Passo 3

Escolhi o método baseado em postos/independência de colunas porque é o mais direto aqui: cada opção é uma matriz e a injetividade depende exatamente da independência das colunas. Para matrizes quadradas podemos usar determinante; para retangulares usamos o argumento de dimensão ( n>m falha automaticamente) ou resolvemos a combinação linear c_1\mathbf{v}_1+\dots+c_n\mathbf{v}_n=\mathbf{0} e verificamos se só tem solução trivial.
Agora aplico isso em cada opção.

Passo 4

Analisando a opção (A). A matriz é
A_A=\begin{bmatrix}1 & 3\\[4pt]4 & 12\end{bmatrix}.
Aqui m=2 e n=2 (é quadrada). Olhamos as colunas:
\mathbf{v}_1=\begin{pmatrix}1\\[4pt]4\end{pmatrix},\qquad \mathbf{v}_2=\begin{pmatrix}3\\[4pt]12\end{pmatrix}.
Repare que \mathbf{v}_2=3\mathbf{v}_1 (multiplicando cada entrada de \mathbf{v}_1 por 3 obtemos \mathbf{v}_2). Portanto as colunas são linearmente dependentes, o posto \operatorname{rank}(A_A)=1<2. Conclusão: a transformação não é injetiva (existe vetor não nulo no kernel).]

Passo 5

Analisando a opção (B). A matriz é
A_B=\begin{bmatrix}2 & 1 & -1\\[4pt]1 & 1 & -1\end{bmatrix}.
Aqui m=2 e n=3. Pelo argumento de dimensão: \operatorname{rank}(A_B)\le \min\{m,n\}=\min\{2,3\}=2. Para ser injetiva precisaríamos de \operatorname{rank}(A_B)=n=3, o que é impossível porque o posto não pode ser maior que m=2. Portanto não é injetiva. (Intuitivamente: três vetores em \mathbb{R}^2 sempre são linearmente dependentes.)]

Passo 6

Analisando a opção (C). A matriz é
A_C=\begin{bmatrix}-1 & -1 & -2\\[4pt]1 & 1 & -1\end{bmatrix}.
Também temos m=2 e n=3. Pelo mesmo argumento do passo anterior, não é possível ter \operatorname{rank}(A_C)=3 porque \operatorname{rank}(A_C)\le 2. Logo a transformação não é injetiva. (Observação: aqui as duas primeiras colunas são iguais, \begin{pmatrix}-1\\\ 1\end{pmatrix}, então já dá para ver dependência também.)]

Passo 7

Analisando a opção (D). A matriz é
A_D=\begin{bmatrix}2 & -1\\[4pt]1 & -1\\[4pt]-1 & -2\end{bmatrix}.
Aqui m=3\) e \(n=2\). Para ser injetiva precisamos de \(\operatorname{rank}(A_D)=n=2\). Então precisamos verificar se as duas colunas são linearmente independentes. Chamemos as colunas de \[\mathbf{u}_1=\begin{pmatrix}2\\[4pt]1\\[4pt]-1\end{pmatrix},\qquad \mathbf{u}_2=\begin{pmatrix}-1\\[4pt]-1\\[4pt]-2\end{pmatrix}.
Testamos a combinação linear nula: suponha a\mathbf{u}_1+b\mathbf{u}_2=\mathbf{0}. Isso gera o sistema (componente a componente)
\begin{cases} 2a - b = 0,\\[4pt] a - b = 0,\\[4pt] - a - 2b = 0. \end{cases}
Agora resolvemos passo a passo: da segunda equação a-b=0\] vem \(b=a. Substituindo na primeira equação 2a-b=0 2a-a=0\Rightarrow a=0. Então b=0. A terceira equação fica -a-2b=0\Rightarrow 0=0, ou seja, não contradiz nada. O único par (a,b) que satisfaz é a=0,b=0, a solução trivial. Portanto as colunas são linearmente independentes, \operatorname{rank}(A_D)=2=n. Conclusão: a transformação representada por (D) é injetiva.]

Passo 8

Recapitulando os resultados: (A) não é injetiva porque as colunas são dependentes ( \mathbf{v}_2=3\mathbf{v}_1). (B) e (C) não são injetivas porque têm mais colunas que linhas ( n=3>m=2), logo impossível ter posto igual a n. (D) é injetiva pois suas duas colunas em \mathbb{R}^3 são linearmente independentes (mostrado resolvendo a combinação linear).
Você conseguiu! A opção correta é a (D). Continua com confiança — esses argumentos por posto e independência de colunas caem muito na prova.

Resposta

(D)

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