Q11: Considere o subespaço H \subset \mathbb{R}^{4} definido por:
H=\operatorname{span}\{(-3,0,1,0),(0,3,-1,0),(12,9,-7,0)\}. Qual dos conjuntos abaixo é base de H^{\perp} (complemento ortogonal de H )?
(A) \{(3,3,9,4)\}
(B) \{(4,3,3,-2),(4,-3,-3,2)\}
(C) \{(4,-3,-3,2)\}
(D) \{(4,3,3,-2),(3,3,9,4)\}
(E) \{(4,3,3,-2)\}
(F) \{(1,1,3,2),(3,3,9,4)\}
(G) \{(1,1,3,2)\}
(H) \{(1,1,3,2),(4,-3,-3,2)\}

Passo 1

O enunciado dá o subespaço H \subset \mathbb{R}^{4} gerado por três vetores:
v_{1}=(-3,0,1,0),\quad v_{2}=(0,3,-1,0),\quad v_{3}=(12,9,-7,0).
A pergunta é: qual dos conjuntos listados é uma base de H^{\perp} (o complemento ortogonal de H)?

Passo 2

Primeiro vamos simplificar a descrição de H\). Verifico se \(v_{3}\) é combinação linear de \(v_{1}\) e \(v_{2}\). Procuro \(a,b\) tais que \[a v_{1} + b v_{2} = v_{3}.
Escrevendo coordenada a coordenada isso dá:
\begin{cases} -3a + 0b = 12,\\[4pt] 0a + 3b = 9,\\[4pt] 1a -1b = -7,\\[4pt] 0a + 0b = 0. \end{cases}
Da primeira equação obtemos a=-4\]. Da segunda obtemos \(b=3. Substituindo na terceira temos a-b=-4-3=-7, que coincide com a terceira coordenada de v_{3}. Logo
v_{3} = -4v_{1} + 3v_{2},
ou seja, v_{3} não adiciona nova direção: H=\operatorname{span}\{v_{1},v_{2}\}.]

Passo 3

Como v_{1} e v_{2} são linearmente independentes (cheque: a primeira coordenada força c_{1}=0 e a segunda força c_{2}=0), \dim H=2. Em \mathbb{R}^{4} temos \dim H^{\perp}=4-2=2. Portanto uma base de H^{\perp} precisa ter exatamente dois vetores linearmente independentes que sejam ortogonais a todos vetores de H.

Passo 4

Agora calculamos H^{\perp} resolvendo as condições de ortogonalidade. Seja x=(a,b,c,d)\in\mathbb{R}^{4}. As condições x\perp v_{1} e x\perp v_{2} são:
v_{1}\cdot x = -3a + 0b + 1c + 0d = -3a + c = 0,
v_{2}\cdot x = 0a + 3b -1c + 0d = 3b - c = 0.
Das duas equações obtemos
c = 3a \quad\text{e}\quad c = 3b.
Assim 3a = 3b, ou seja a=b. Portanto as incógnitas ficam parametrizadas por a e d livres. Escrevendo t=a=b e s=d, obtemos
x = (t,t,3t,s) = t(1,1,3,0) + s(0,0,0,1).
Logo
H^{\perp} = \operatorname{span}\{(1,1,3,0),\;(0,0,0,1)\}.

Passo 5

Interpretação prática: todos os vetores em H^{\perp} têm a forma (t,t,3t,s). Em particular, qualquer vetor usado como candidato a base de H^{\perp} deve satisfazer que as primeiras duas coordenadas são iguais e a terceira é o triplo da primeira. A quarta coordenada pode ser qualquer número.

Passo 6

Agora verifico as opções dadas, procurando dois vetores em H^{\perp} e linearmente independentes. Observações rápidas sobre alguns vetores das alternativas:
  • (1,1,3,2) satisfaz 1=1 e 3=3\cdot1, logo pertence a H^{\perp}.
  • (3,3,9,4) satisfaz 3=3 e 9=3\cdot3, logo pertence a H^{\perp}.
  • (4,3,3,-2) tem primeiras coordenadas 4 e 3 diferentes, portanto NÃO pertence a H^{\perp}.
  • (4,-3,-3,2) tem 4\neq -3, portanto NÃO pertence a H^{\perp}.
  • Vetores como (1,1,3,2) e (3,3,9,4) estão ambos em H^{\perp}. Como (3,3,9,4) não é múltiplo escalar de (1,1,3,2) (compare a quarta coordenada: 4 não é 2 vezes a primeira), eles são linearmente independentes.

Passo 7

Concluo que a opção que fornece dois vetores que pertencem a H^{\perp} e são independentes é a opção (F):
\{(1,1,3,2),(3,3,9,4)\}.
Como H^{\perp} tem dimensão 2, dois vetores independentes em H^{\perp} formam uma base — portanto a opção (F) está correta.

Resposta

F

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