Q4: Qual das matrizes abaixo representa uma transformação linear sobrejetiva?
(A) \left[\begin{array}{ll}-2 & -6 \\\\ -3 & -9 \\\\ -1 & -3\end{array}\right]
(B) \left[\begin{array}{ll}2 & -2 \\\\ 4 & -4\end{array}\right]
(C) \left[\begin{array}{rrr}-2 & -1 & -3 \\\\ 2 & 1 & 3\end{array}\right]
(D) \left[\begin{array}{lll}1 & 2 & 2 \\\\ 1 & 3 & 4\end{array}\right]
(E) \left[\begin{array}{ll}6 & -6 \\\\ 2 & -2\end{array}\right]

Passo 1

O enunciado pergunta explicitamente: “Qual das matrizes abaixo representa uma transformação linear sobrejetiva?” e fornece cinco matrizes rotuladas de (A) a (E). Vou listar cada matriz e suas dimensões (peguei essas matrizes do enunciado):
  • (A) \displaystyle \left[\begin{array}{ll}-2 & -6 \\\\ -3 & -9 \\\\ -1 & -3\end{array}\right] — matriz de dimensão \,3\times2.
  • (B) \displaystyle \left[\begin{array}{ll}2 & -2 \\\\ 4 & -4\end{array}\right] — matriz de dimensão \,2\times2.
  • (C) \displaystyle \left[\begin{array}{rrr}-2 & -1 & -3 \\\\ 2 & 1 & 3\end{array}\right] — matriz de dimensão \,2\times3.
  • (D) \displaystyle \left[\begin{array}{lll}1 & 2 & 2 \\\\ 1 & 3 & 4\end{array}\right] — matriz de dimensão \,2\times3.
  • (E) \displaystyle \left[\begin{array}{ll}6 & -6 \\\\ 2 & -2\end{array}\right] — matriz de dimensão \,2\times2.
O objetivo é, para cada matriz, verificar se a transformação linear associada é sobrejetiva (isto é, se atinge todo o espaço de chegada).

Passo 2

Conceito que vamos usar (explicado com calma): uma matriz A de dimensão \,m\times n representa uma transformação linear T:\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}^m. Essa transformação é sobrejetiva (onto) se a imagem de T for todo \mathbb{R}^m. Duas condições equivalentes e úteis na prática:
  1. As colunas de A geram \mathbb{R}^m (ou seja, o espaço gerado pelas colunas é todo \mathbb{R}^m).
  2. O posto (rank) de A, que denoto \operatorname{rank}(A), é igual a m (o número de linhas).
Além disso, fato importante e prático: \operatorname{rank}(A)\le\min(m,n). Então se m>n automaticamente \operatorname{rank}(A)\le n < m e a transformação não pode ser sobrejetiva. Para verificar sobrejetividade computacionalmente, o jeito prático é calcular o posto via eliminação por linhas (redução a uma forma com linhas independentes).

Passo 3

Análise da matriz (A): \displaystyle \left[\begin{array}{ll}-2 & -6 \\\\ -3 & -9 \\\\ -1 & -3\end{array}\right].
  • Dimensão: \,m=3, \,n=2. Pela desigualdade \operatorname{rank}(A)\le\min(3,2)=2, o posto não pode atingir m=3. Portanto \operatorname{rank}(A)\le2<3 e a transformação NÃO é sobrejetiva. (Não precisa reduzir; a conta de dimensões já decide.)

Passo 4

Análise da matriz (B): \displaystyle \left[\begin{array}{ll}2 & -2 \\\\ 4 & -4\end{array}\right].
  • Dimensão: \,2\times2. Aqui é possível ser sobrejetiva se \operatorname{rank}=2.
  • Observação rápida: a segunda linha é 2 vezes a primeira linha? Na verdade [4\\\ -4]=2\cdot[2\\\ -2]. Linhas linearmente dependentes implicam posto <2.
  • Fazer redução por linhas para ver o posto: \begin{bmatrix}2 & -2\\[4pt]4 & -4\end{bmatrix} \xrightarrow{\text{R}_2\leftarrow\text{R}_2-2\text{R}_1} \begin{bmatrix}2 & -2\\[4pt]0 & 0\end{bmatrix}.Há apenas uma linha não nula, então \operatorname{rank}(B)=1<2. Logo (B) NÃO é sobrejetiva.]

Passo 5

Análise da matriz (C): \displaystyle \left[\begin{array}{rrr}-2 & -1 & -3 \\[2pt]2 & 1 & 3\end{array}\right].
  • Dimensão: \,2\times3. Para ser sobrejetiva precisamos de \operatorname{rank}=2.
  • Observe que a segunda linha é -1 vezes a primeira linha: [2\\\ 1\\\ 3] = -1\cdot[-2\\\ -1\\\ -3].Então as linhas são linearmente dependentes e há apenas uma linha independente não nula. Portanto \operatorname{rank}\text{(C)}=1<2. Assim (C) NÃO é sobrejetiva.]

Passo 6

Análise da matriz (D): \displaystyle \left[\begin{array}{lll}1 & 2 & 2 \\[2pt]1 & 3 & 4\end{array}\right].
  • Dimensão: \,2\times3. Para ser sobrejetiva precisamos de \operatorname{rank}=2.
  • Vamos fazer redução por linhas para ver se as duas linhas são independentes: \begin{bmatrix}1 & 2 & 2\\[4pt]1 & 3 & 4\end{bmatrix} \xrightarrow{\text{R}_2\leftarrow\text{R}_2-\text{R}_1} \begin{bmatrix}1 & 2 & 2\\[4pt]0 & 1 & 2\end{bmatrix}.Agora há duas linhas não nulas e nenhuma é múltipla da outra; isso mostra que as duas linhas são linearmente independentes. Então \operatorname{rank}(D)=2.
  • Como \operatorname{rank}(D)=2=m, as colunas de D geram \mathbb{R}^2 e a transformação associada é SOBREJETIVA.
(Se preferir pensar por colunas: qualquer par de colunas que forme uma matriz 2\times2 de determinante não nulo garante posto 2. Por exemplo, as duas primeiras colunas formam \begin{bmatrix}1 & 2\\[4pt]1 & 3\end{bmatrix} cujo determinante é 1\cdot3-1\cdot2=1\neq0.)]

Passo 7

Análise da matriz (E): \displaystyle \left[\begin{array}{ll}6 & -6 \\[2pt]2 & -2\end{array}\right].
  • Dimensão: \,2\times2.
  • Observação: a segunda linha é \tfrac{1}{3} da primeira linha: [2\\\ -2]=\tfrac{1}{3}[6\\\ -6]. Assim as linhas são dependentes e \operatorname{rank}(E)=1<2. Portanto (E) NÃO é sobrejetiva.]

Passo 8

Resumo lógico dos resultados:
  • (A): não sobrejetiva porque m=3>n=2 impossibilita posto =3.
  • (B): \operatorname{rank}=1<2 → não sobrejetiva.
  • (C): \operatorname{rank}=1<2 → não sobrejetiva.
  • (D): \operatorname{rank}=2=m → sobrejetiva.
  • (E): \operatorname{rank}=1<2 → não sobrejetiva.

Resposta

(D)

Exercícios relacionados