O enunciado pergunta explicitamente: “Qual das matrizes abaixo representa uma transformação linear sobrejetiva?” e fornece cinco matrizes rotuladas de (A) a (E). Vou listar cada matriz e suas dimensões (peguei essas matrizes do enunciado):
O objetivo é, para cada matriz, verificar se a transformação linear associada é sobrejetiva (isto é, se atinge todo o espaço de chegada).
Passo 2
Conceito que vamos usar (explicado com calma): uma matriz A de dimensão \,m\times n representa uma transformação linear T:\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}^m. Essa transformação é sobrejetiva (onto) se a imagem de T for todo \mathbb{R}^m. Duas condições equivalentes e úteis na prática:
As colunas de A geram \mathbb{R}^m (ou seja, o espaço gerado pelas colunas é todo \mathbb{R}^m).
O posto (rank) de A, que denoto \operatorname{rank}(A), é igual a m (o número de linhas).
Além disso, fato importante e prático: \operatorname{rank}(A)\le\min(m,n). Então se m>n automaticamente \operatorname{rank}(A)\le n < m e a transformação não pode ser sobrejetiva. Para verificar sobrejetividade computacionalmente, o jeito prático é calcular o posto via eliminação por linhas (redução a uma forma com linhas independentes).
Dimensão: \,m=3, \,n=2. Pela desigualdade \operatorname{rank}(A)\le\min(3,2)=2, o posto não pode atingir m=3. Portanto \operatorname{rank}(A)\le2<3 e a transformação NÃO é sobrejetiva. (Não precisa reduzir; a conta de dimensões já decide.)
Dimensão: \,2\times2. Aqui é possível ser sobrejetiva se \operatorname{rank}=2.
Observação rápida: a segunda linha é 2 vezes a primeira linha? Na verdade [4\\\ -4]=2\cdot[2\\\ -2]. Linhas linearmente dependentes implicam posto <2.
Fazer redução por linhas para ver o posto:\begin{bmatrix}2 & -2\\[4pt]4 & -4\end{bmatrix} \xrightarrow{\text{R}_2\leftarrow\text{R}_2-2\text{R}_1} \begin{bmatrix}2 & -2\\[4pt]0 & 0\end{bmatrix}.Há apenas uma linha não nula, então \operatorname{rank}(B)=1<2. Logo (B) NÃO é sobrejetiva.]
Dimensão: \,2\times3. Para ser sobrejetiva precisamos de \operatorname{rank}=2.
Observe que a segunda linha é -1 vezes a primeira linha:[2\\\ 1\\\ 3] = -1\cdot[-2\\\ -1\\\ -3].Então as linhas são linearmente dependentes e há apenas uma linha independente não nula. Portanto \operatorname{rank}\text{(C)}=1<2. Assim (C) NÃO é sobrejetiva.]
Dimensão: \,2\times3. Para ser sobrejetiva precisamos de \operatorname{rank}=2.
Vamos fazer redução por linhas para ver se as duas linhas são independentes:\begin{bmatrix}1 & 2 & 2\\[4pt]1 & 3 & 4\end{bmatrix} \xrightarrow{\text{R}_2\leftarrow\text{R}_2-\text{R}_1} \begin{bmatrix}1 & 2 & 2\\[4pt]0 & 1 & 2\end{bmatrix}.Agora há duas linhas não nulas e nenhuma é múltipla da outra; isso mostra que as duas linhas são linearmente independentes. Então \operatorname{rank}(D)=2.
Como \operatorname{rank}(D)=2=m, as colunas de D geram \mathbb{R}^2 e a transformação associada é SOBREJETIVA.
(Se preferir pensar por colunas: qualquer par de colunas que forme uma matriz 2\times2 de determinante não nulo garante posto 2. Por exemplo, as duas primeiras colunas formam \begin{bmatrix}1 & 2\\[4pt]1 & 3\end{bmatrix} cujo determinante é 1\cdot3-1\cdot2=1\neq0.)]
Observação: a segunda linha é \tfrac{1}{3} da primeira linha: [2\\\ -2]=\tfrac{1}{3}[6\\\ -6]. Assim as linhas são dependentes e \operatorname{rank}(E)=1<2. Portanto (E) NÃO é sobrejetiva.]
Passo 8
Resumo lógico dos resultados:
(A): não sobrejetiva porque m=3>n=2 impossibilita posto =3.