Q12: Qual dos seguintes vetores faz um ângulo obtuso (maior do que
) com o vetor (
)?
(A)
(B)
(C)
(D)
(E)
(F)
Q13: Considere uma transformação linear
. A dimensão do núcleo de
NÃO pode ser:
(A) 32
(B) 36
(C) 21
(D) 34
(E) 16
(A)
(B)
(C)
(D)
(E)
(F)
(A) 32
(B) 36
(C) 21
(D) 34
(E) 16
Passo 1
Vou listar claramente o que cada questão pede e as informações dadas.
Q12 pede: qual dos vetores dados faz um ângulo obtuso (maior do que
) com o vetor
.
As opções são:
- (A)
- (B)
- (C)
- (D)
- (E)
- (F)
Q13 pede: para uma transformação linear
, qual das opções dadas NÃO pode ser a dimensão do núcleo (ou seja, a nulidade de
).
As opções são:
- (A)
- (B)
- (C)
- (D)
- (E)
Informações importantes dadas implicitamente: o domínio tem dimensão
e o contradomínio tem dimensão
.
Passo 2
Resolverei Q12 criando uma regra clara: como vincular produto escalar e ângulo.
A fórmula que liga produto escalar e ângulo entre vetores é: se
então
onde
é o produto escalar e
é a norma de
.
Observação prática e crucial: o cosseno de um ângulo é negativo se, e somente se, o ângulo é obtuso (maior que
). Logo:
-
é obtuso .
Portanto, para verificar se um vetorfaz ângulo obtuso com , basta calcular e ver se é negativo.
Passo 3
Calcular os produtos escalares
. Como
, o produto escalar é simplesmente a soma das componentes de
:
- Para (A):
. Resultado positivo ângulo agudo. - Para (B):
. Positivo agudo. - Para (C):
. Positivo agudo. - Para (D):
. Positivo agudo. - Para (E):
. Positivo agudo. - Para (F):
. Negativo obtuso.
Portanto, entre as opções, somente a (F) dá produto escalar negativo, logo é a que forma ângulo obtuso com
.
Dica rápida para prova: sempre que for comparar ângulo com
, não precisa calcular normas — basta somar componentes e checar o sinal.
Passo 4
Agora Q13. Vou usar um teorema fundamental de espaços vetoriais: o Teorema do posto e da nulidade (rank–nullity).
Teorema do posto-nulidade: para uma transformação linear
com
,
Aqui
é a nulidade (nullity) e
é o posto (rank).
No nosso caso
. Além disso, o posto satisfaz a desigualdade natural
. Como
, temos
Substituindo no teorema do posto-nulidade,
Conclusão: a nulidade (dimensão do núcleo) NÃO pode ser menor que
. Em resumo, possíveis valores inteiros para a nulidade são exatamente
isto é, todos os inteiros de
até
inclusive (cada um corresponde a um posto entre
e
).
Passo 5
Para ser totalmente explícito vou testar cada opção da Q13 calculando o posto que ela implica e vendo se esse posto é viável (ou seja, se é
e
).
Regra prática: se propuseram uma nulidade
, então o posto seria
. Esse posto deve satisfazer
, ou equivalentemente
.
Verificação das alternativas:
- (A)
. Então posto . Como , é possível. - (B)
. Então posto . Possível (transformação zero). - (C)
. Então posto . Possível (posto máximo igual à dimensão do contradomínio). - (D)
. Então posto . Possível. - (E)
. Então posto . Isto exigiria posto , mas o posto não pode exceder . Logo é impossível.
Passo 6
Resumo do raciocínio (para decorar): nulidade mínima é
. Qualquer proposta de nulidade menor que
é imediatamente impossível. Assim, entre as opções, somente
(opção (E)) é incompatível com as dimensões dadas.
Resposta
Q12: (F)
Q13: (E)