Q12: Qual dos seguintes vetores faz um ângulo obtuso (maior do que 90^{\circ} ) com o vetor ( 1,1,1,1 )?
(A) (2,1,2,2)
(B) (-4,-2,4,3)
(C) (3,-1,4,-1)
(D) (3,-2,4,-3)
(E) (3,4,1,1)
(F) (-3,2,-2,1)
Q13: Considere uma transformação linear T: \mathbb{R}^{36} \rightarrow \mathbb{R}^{15}. A dimensão do núcleo de T NÃO pode ser:
(A) 32
(B) 36
(C) 21
(D) 34
(E) 16

Passo 1

Vou listar claramente o que cada questão pede e as informações dadas.
Q12 pede: qual dos vetores dados faz um ângulo obtuso (maior do que 90^\circ) com o vetor (1,1,1,1).
As opções são:
  • (A) (2,1,2,2)
  • (B) (-4,-2,4,3)
  • (C) (3,-1,4,-1)
  • (D) (3,-2,4,-3)
  • (E) (3,4,1,1)
  • (F) (-3,2,-2,1)
Q13 pede: para uma transformação linear T:\mathbb{R}^{36}\to\mathbb{R}^{15}, qual das opções dadas NÃO pode ser a dimensão do núcleo (ou seja, a nulidade de T).
As opções são:
  • (A) 32
  • (B) 36
  • (C) 21
  • (D) 34
  • (E) 16
Informações importantes dadas implicitamente: o domínio tem dimensão 36 e o contradomínio tem dimensão 15.

Passo 2

Resolverei Q12 criando uma regra clara: como vincular produto escalar e ângulo.
A fórmula que liga produto escalar e ângulo entre vetores é: se u,v\in\mathbb{R}^n então
\cos\theta=\frac{u\cdot v}{\|u\|\|v\|},
onde u\cdot v=\sum_{i=1}^n u_i v_i é o produto escalar e \|u\|=\sqrt{u\cdot u} é a norma de u.
Observação prática e crucial: o cosseno de um ângulo é negativo se, e somente se, o ângulo é obtuso (maior que 90^\circ). Logo:
  • \theta é obtuso \iff u\cdot v<0.
    Portanto, para verificar se um vetor w faz ângulo obtuso com v=(1,1,1,1), basta calcular w\cdot v e ver se é negativo.

Passo 3

Calcular os produtos escalares w\cdot(1,1,1,1). Como v=(1,1,1,1), o produto escalar é simplesmente a soma das componentes de w:
  • Para (A): (2,1,2,2)\cdot(1,1,1,1)=2+1+2+2=7. Resultado positivo \Rightarrow ângulo agudo.
  • Para (B): (-4,-2,4,3)\cdot(1,1,1,1)=-4-2+4+3=1. Positivo \Rightarrow agudo.
  • Para (C): (3,-1,4,-1)\cdot(1,1,1,1)=3-1+4-1=5. Positivo \Rightarrow agudo.
  • Para (D): (3,-2,4,-3)\cdot(1,1,1,1)=3-2+4-3=2. Positivo \Rightarrow agudo.
  • Para (E): (3,4,1,1)\cdot(1,1,1,1)=3+4+1+1=9. Positivo \Rightarrow agudo.
  • Para (F): (-3,2,-2,1)\cdot(1,1,1,1)=-3+2-2+1=-2. Negativo \Rightarrow obtuso.
Portanto, entre as opções, somente a (F) dá produto escalar negativo, logo é a que forma ângulo obtuso com (1,1,1,1).
Dica rápida para prova: sempre que for comparar ângulo com (1,1,\dots,1), não precisa calcular normas — basta somar componentes e checar o sinal.

Passo 4

Agora Q13. Vou usar um teorema fundamental de espaços vetoriais: o Teorema do posto e da nulidade (rank–nullity).
Teorema do posto-nulidade: para uma transformação linear T:V\to W com \dim V=n,
\dim(\ker T)+\dim(\operatorname{im} T)=\dim V.
Aqui \dim(\ker T) é a nulidade (nullity) e \dim(\operatorname{im} T) é o posto (rank).
No nosso caso \dim V=36. Além disso, o posto satisfaz a desigualdade natural \dim(\operatorname{im} T)\le \dim W. Como \dim W=15, temos
\dim(\operatorname{im} T)\le15.
Substituindo no teorema do posto-nulidade,
\dim(\ker T)=36-\dim(\operatorname{im} T)\ge 36-15=21.
Conclusão: a nulidade (dimensão do núcleo) NÃO pode ser menor que 21. Em resumo, possíveis valores inteiros para a nulidade são exatamente
21,22,\dots,36,
isto é, todos os inteiros de 21 até 36 inclusive (cada um corresponde a um posto entre 15 e 0).

Passo 5

Para ser totalmente explícito vou testar cada opção da Q13 calculando o posto que ela implica e vendo se esse posto é viável (ou seja, se é \le15 e \ge0).
Regra prática: se propuseram uma nulidade k, então o posto seria 36-k. Esse posto deve satisfazer 0\le 36-k\le 15, ou equivalentemente 21\le k\le 36.
Verificação das alternativas:
  • (A) k=32. Então posto =36-32=4. Como 4\le15, é possível.
  • (B) k=36. Então posto =36-36=0. Possível (transformação zero).
  • (C) k=21. Então posto =36-21=15. Possível (posto máximo igual à dimensão do contradomínio).
  • (D) k=34. Então posto =36-34=2. Possível.
  • (E) k=16. Então posto =36-16=20. Isto exigiria posto 20, mas o posto não pode exceder \dim W=15. Logo k=16 é impossível.

Passo 6

Resumo do raciocínio (para decorar): nulidade mínima é 36-15=21. Qualquer proposta de nulidade menor que 21 é imediatamente impossível. Assim, entre as opções, somente 16 (opção (E)) é incompatível com as dimensões dadas.

Resposta

Q12: (F)
Q13: (E)

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