Q12: Encontre a solução, no sentido dos mínimos quadrados, do sistema linear Q \vec{x}=\vec{b}, representado abaixo:
\left[\begin{array}{rr|r} -2 & 1 & -3 \\\\ 1 & -2 & -6 \\\\ 2 & 2 & 9 \end{array}\right] .
Assinale o valor de x_{2}, a 2^{\mathrm{a}} entrada da solução \vec{x}.
(A) 3
(B) -3
(C) -1
(D) -2
(E) Não sei

Passo 1

O enunciado pede a solução, no sentido dos mínimos quadrados, do sistema linear Q\vec{x}=\vec{b} dado pela matriz aumentada
\left[\begin{array}{rr|r} -2 & 1 & -3 \\\\ 1 & -2 & -6 \\\\ 2 & 2 & 9 \end{array}\right].
Ou seja:
Q=\begin{pmatrix}-2 & 1 \\[2pt] 1 & -2 \\[2pt] 2 & 2\end{pmatrix},\qquad \vec{b}=\begin{pmatrix}-3\\[2pt]-6\\[2pt]9\end{pmatrix}.
A pergunta específica é: qual é a segunda entrada x_{2} da solução \vec{x} obtida pelos mínimos quadrados?]

Passo 2

O que são mínimos quadrados e como se resolve (aula rápida): ao procurar \vec{x} nos mínimos quadrados, deseja-se minimizar a norma quadrática do resíduo
\|Q\vec{x}-\vec{b}\|^{2}=(Q\vec{x}-\vec{b})^{T}(Q\vec{x}-\vec{b}).
Derivando em relação a \vec{x} e igualando a zero (condição de ótimo), obtém-se as equações normais
Q^{T}Q\vec{x}=Q^{T}\vec{b}.
Se Q^{T}Q for invertível, então a solução de mínimos quadrados é
\vec{x}=(Q^{T}Q)^{-1}Q^{T}\vec{b}.
Vou aplicar essa fórmula passo a passo, sem pular contas.

Passo 3

Calcular Q^{T}Q. É útil ver as colunas de Q:
\text{col}_1=\begin{pmatrix}-2\\[2pt]1\\[2pt]2\end{pmatrix},\qquad \text{col}_2=\begin{pmatrix}1\\[2pt]-2\\[2pt]2\end{pmatrix}.
Os elementos de Q^{T}Q são produtos internos das colunas:
(Q^{T}Q)_{11}=\text{col}_1\cdot\text{col}_1=(-2)^{2}+1^{2}+2^{2}=4+1+4=9,
(Q^{T}Q)_{22}=\text{col}_2\cdot\text{col}_2=1^{2}+(-2)^{2}+2^{2}=1+4+4=9,
(Q^{T}Q)_{12}=\text{col}_1\cdot\text{col}_2=(-2)\cdot1 + 1\cdot(-2) + 2\cdot2 = -2-2+4=0.
Portanto
Q^{T}Q=\begin{pmatrix}9 & 0 \\[2pt]0 & 9\end{pmatrix}=9I_{2},
que é claramente invertível.]

Passo 4

Calcular Q^{T}\vec{b}. Isso são produtos internos das colunas de Q com \vec{b}:
\text{col}_1\cdot\vec{b}=(-2)(-3)+1(-6)+2(9)=6-6+18=18,
\text{col}_2\cdot\vec{b}=1(-3)+(-2)(-6)+2(9)=-3+12+18=27.
Logo
Q^{T}\vec{b}=\begin{pmatrix}18\\[2pt]27\end{pmatrix}.]

Passo 5

Resolver as equações normais Q^{T}Q\vec{x}=Q^{T}\vec{b}. Como Q^{T}Q=9I_{2}, temos
9I_{2}\vec{x}=\begin{pmatrix}18\\[2pt]27\end{pmatrix} \quad\Longrightarrow\quad \vec{x}=\frac{1}{9}\begin{pmatrix}18\\[2pt]27\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2\\[2pt]3\end{pmatrix}.
Portanto a solução de mínimos quadrados é \vec{x}=(2,\,3)^{T}.]

Passo 6

Interpretação final curta e ânimo: o cálculo ficou simples porque as colunas de Q são ortogonais (produto interno zero), o que fez Q^{T}Q ser uma múltiplo escalar da identidade. Resultado final direto e confiável — você já ganhou mais um exercício tranquilo para a prova!

Resposta

x_{2}=3

Exercícios relacionados