Considere a relação R sobre o conjunto C dos números complexos definida por:
(a+b i) R(c+d i) \quad \Leftrightarrow \quad a^{2}+b^{2}=c^{2}+d^{2}

Passo 1

O enunciado define uma relação R sobre o conjunto C (números complexos) por
(a+bi)\;R\;(c+di)\quad\Leftrightarrow\quad a^{2}+b^{2}=c^{2}+d^{2}.
O que vamos responder (inferindo o pedido típico desta questão):
  1. Mostrar se R é uma relação de equivalência (ou seja, verificar reflexividade, simetria e transitividade).
  2. Descrever explicitamente as classes de equivalência (como são os conjuntos [\;z\;] para z\in C).
    As informações dadas e úteis: para qualquer complexos escrevemos z=a+bi com a,b\in\mathbb{R}, e a^{2}+b^{2} é justamente o quadrado do módulo de z.

Passo 2

Primeiro, lembrar o conceito de módulo de um número complexo e relacioná-lo com a definição. Para z=a+bi definimos o módulo por
|z|=\sqrt{a^{2}+b^{2}}.
Aqui a e b são as partes real e imaginária de z. Assim, a condição a^{2}+b^{2}=c^{2}+d^{2} é equivalente a
|a+bi|^{2}=|c+di|^{2},
ou seja, os dois complexos têm o mesmo módulo (mesmo comprimento a partir da origem), já que o módulo ao quadrado elimina a raiz. Essa observação vai simplificar os testes de propriedades.

Passo 3

Verificar reflexividade. Definição: R é reflexiva se, para todo z\in C, valha zRz. Pegue z=a+bi qualquer. Então
a^{2}+b^{2}=a^{2}+b^{2},
portanto zRz. Em linguagem do módulo, |z|^{2}=|z|^{2}. Conclusão: R é reflexiva.

Passo 4

Verificar simetria. Definição: R é simétrica se, sempre que zRw, então wRz. Suponha z=a+bi e w=c+di e que zRw, ou seja
a^{2}+b^{2}=c^{2}+d^{2}.
A igualdade é simétrica: trocar os lados dá
c^{2}+d^{2}=a^{2}+b^{2},
logo wRz. Em termos de módulo, se |z|^{2}=|w|^{2} então |w|^{2}=|z|^{2}. Conclusão: R é simétrica.

Passo 5

Verificar transitividade. Definição: R é transitiva se, sempre que zRw e wRu, então zRu. Tome z=a+bi, w=c+di, u=e+fi. Suponha
a^{2}+b^{2}=c^{2}+d^{2}\qquad\text{e}\qquad c^{2}+d^{2}=e^{2}+f^{2}.
Pelo princípio da igualdade (se X=Y e Y=Z então X=Z) obtemos
a^{2}+b^{2}=e^{2}+f^{2},
ou seja zRu. Em termos de módulo, se |z|^{2}=|w|^{2} e |w|^{2}=|u|^{2} então |z|^{2}=|u|^{2}. Conclusão: R é transitiva.

Passo 6

Como R é reflexiva, simétrica e transitiva, concluímos que R é uma relação de equivalência sobre C. Comentário didático rápido: uma relação de equivalência particiona o conjunto em “bolsões” disjuntos (classes) de elementos que se consideram equivalentes — aqui, o critério de equivalência é ter o mesmo módulo.

Passo 7

Descrever as classes de equivalência. Seja z=a+bi fixo. A classe de equivalência de z é
[z]=\{w\in C \mid wRz\}=\{c+di\in C \mid c^{2}+d^{2}=a^{2}+b^{2}\}.
Usando módulo, se r:=|z|=\sqrt{a^{2}+b^{2}} então
[z]=\{w\in C \mid |w|=r\}.
Ou seja, [z] é o círculo (no plano complexo) centrado na origem com raio r. Observação especial: se z=0 então r=0 e [0]=\{0\} (a classe degenerada, só o ponto origem). Para r>0 a classe [z] contém infinitos elementos — todos os complexos cujo módulo vale r.

Passo 8

Organização das classes como uma partição indexada por r\ge 0. Para cada número real r\ge 0 definimos a classe
C_{r}=\{z\in C \mid |z|=r\}.
As classes C_{r} são disjuntas entre si (se r\neq s então C_{r}\cap C_{s}=\varnothing) e sua união sobre r\ge 0 é todo C. Assim a relação particiona C nos círculos centrados na origem (incluindo o ponto 0 quando r=0).

Passo 9

Exemplos concretos para fixar: \,3+4i tem |3+4i|=5, então
[3+4i]=\{x+iy\in C \mid x^{2}+y^{2}=25\},
ou seja, o círculo de raio 5. Para 1+i temos |1+i|=\sqrt{2}, então [1+i]=\{x+iy\mid x^{2}+y^{2}=2\}.

Resposta

R é uma relação de equivalência.\nAs classes de equivalência são, para z\in C com r=|z|\ge 0,
[z]=\{w\in C \mid |w|=r\},
ou seja, os círculos centrados na origem (para r=0 a classe é \{0\}).

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