Considere a relação
sobre o conjunto
dos números complexos definida por:
Passo 1
O enunciado define uma relação
sobre o conjunto
(números complexos) por
O que vamos responder (inferindo o pedido típico desta questão):
- Mostrar se
é uma relação de equivalência (ou seja, verificar reflexividade, simetria e transitividade). - Descrever explicitamente as classes de equivalência (como são os conjuntos
para ).
As informações dadas e úteis: para qualquer complexos escrevemoscom , e é justamente o quadrado do módulo de .
Passo 2
Primeiro, lembrar o conceito de módulo de um número complexo e relacioná-lo com a definição. Para
definimos o módulo por
Aqui
e
são as partes real e imaginária de
. Assim, a condição
é equivalente a
ou seja, os dois complexos têm o mesmo módulo (mesmo comprimento a partir da origem), já que o módulo ao quadrado elimina a raiz. Essa observação vai simplificar os testes de propriedades.
Passo 3
Verificar reflexividade. Definição:
é reflexiva se, para todo
, valha
. Pegue
qualquer. Então
portanto
. Em linguagem do módulo,
. Conclusão:
é reflexiva.
Passo 4
Verificar simetria. Definição:
é simétrica se, sempre que
, então
. Suponha
e
e que
, ou seja
A igualdade é simétrica: trocar os lados dá
logo
. Em termos de módulo, se
então
. Conclusão:
é simétrica.
Passo 5
Verificar transitividade. Definição:
é transitiva se, sempre que
e
, então
. Tome
,
,
. Suponha
Pelo princípio da igualdade (se
e
então
) obtemos
ou seja
. Em termos de módulo, se
e
então
. Conclusão:
é transitiva.
Passo 6
Como
é reflexiva, simétrica e transitiva, concluímos que
é uma relação de equivalência sobre
. Comentário didático rápido: uma relação de equivalência particiona o conjunto em “bolsões” disjuntos (classes) de elementos que se consideram equivalentes — aqui, o critério de equivalência é ter o mesmo módulo.
Passo 7
Descrever as classes de equivalência. Seja
fixo. A classe de equivalência de
é
Usando módulo, se
então
Ou seja,
é o círculo (no plano complexo) centrado na origem com raio
. Observação especial: se
então
e
(a classe degenerada, só o ponto origem). Para
a classe
contém infinitos elementos — todos os complexos cujo módulo vale
.
Passo 8
Organização das classes como uma partição indexada por
. Para cada número real
definimos a classe
As classes
são disjuntas entre si (se
então
) e sua união sobre
é todo
. Assim a relação particiona
nos círculos centrados na origem (incluindo o ponto
quando
).
Passo 9
Exemplos concretos para fixar:
tem
, então
ou seja, o círculo de raio
. Para
temos
, então
.
Resposta
ou seja, os círculos centrados na origem (para
a classe é
).