Quais das matrizes abaixo são diagonalizáveis? Para aquelas que são, encontre uma base de autovetores e exiba a forma diagonal associada.
B=\left(\begin{array}{ll}2 & 4 \\\\ 4 & 2\end{array}\right)

Passo 1

O enunciado pede para verificar quais das matrizes dadas são diagonalizáveis e, para as que forem, encontrar uma base de autovetores e exibir a forma diagonal associada. A matriz fornecida é
B=\begin{pmatrix}2 & 4\\[4pt]4 & 2\end{pmatrix}.
Informações relevantes dadas: os elementos de B são b_{11}=2, b_{12}=4, b_{21}=4, b_{22}=2. A tarefa concreta é decidir se B é diagonalizável e, em caso afirmativo, apresentar uma base de autovetores e a matriz diagonal correspondente.]

Passo 2

O que significa diagonalizar uma matriz (explicação didática): queremos encontrar uma matriz invertível P e uma matriz diagonal D tais que
P^{-1}BP = D.
Isto equivale a ter uma base de \mathbb{R}^2 formada por autovetores de B. Um autovetor v\neq 0 e seu autovalor \lambda satisfazem
Bv = \lambda v,
ou equivalentemente
(B-\lambda I)v = 0.
Para achar autovalores, calculamos o polinômio característico \det(B-\lambda I)=0. Depois, para cada autovalor, resolvemos (B-\lambda I)v=0 para obter os autovetores. Se conseguimos dois autovetores linearmente independentes em \mathbb{R}^2, então B é diagonalizável (esses dois autovetores formam uma base).

Passo 3

Calcular o polinômio característico de B. Começamos escrevendo B-\lambda I:
B-\lambda I=\begin{pmatrix}2-\lambda & 4\\[4pt]4 & 2-\lambda\end{pmatrix}.
O determinante é
\det(B-\lambda I)=(2-\lambda)^2-4\cdot 4.
Desenvolvendo,
(2-\lambda)^2-16 = (4-4\lambda+\lambda^2)-16 = \lambda^2-4\lambda-12.
Assim o polinômio característico é
\lambda^2-4\lambda-12.]

Passo 4

Encontrar os autovalores resolvendo \lambda^2-4\lambda-12=0. Fatorando,
\lambda^2-4\lambda-12=(\lambda-6)(\lambda+2).
Logo os autovalores são
\lambda_1=6\quad\text{e}\quad \lambda_2=-2.
Cada autovalor tem multiplicidade algébrica 1 (são raízes simples), o que já é um forte indício de que teremos autespaços de dimensão 1 cada, possibilitando diagonalização em \mathbb{R}^2 se os autovetores forem independentes (o que acontece quando autovalores são distintos).

Passo 5

Encontrar os autovetores associados a \lambda_1=6\). Calculamos \(B-6I\): \[B-6I=\begin{pmatrix}2-6 & 4\\[4pt]4 & 2-6\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-4 & 4\\[4pt]4 & -4\end{pmatrix}.
Resolvemos (B-6I)v=0, isto é, para v=(x,y)^T,
\begin{cases} -4x+4y=0,\\[4pt] 4x-4y=0. \end{cases}
Ambas equações dão a mesma condição x=y\]. Portanto os autovetores associados a \(\lambda_1=6 são todos os múltiplos de
v_1=\begin{pmatrix}1\\[4pt]1\end{pmatrix}.
Posso escolher v_1 como vetor da base.]

Passo 6

Encontrar os autovetores associados a \lambda_2=-2\). Calculamos \(B-(-2)I = B+2I\): \[B+2I=\begin{pmatrix}2+2 & 4\\[4pt]4 & 2+2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}4 & 4\\[4pt]4 & 4\end{pmatrix}.
Resolvendo (B+2I)v=0, para v=(x,y)^T,
\begin{cases} 4x+4y=0,\\[4pt] 4x+4y=0. \end{cases}
A condição é x=-y\]. Assim os autovetores associados a \(\lambda_2=-2 são todos os múltiplos de
v_2=\begin{pmatrix}1\\[4pt]-1\end{pmatrix}.
Escolhemos v_2 como segundo vetor da base.]

Passo 7

Verificação de independência linear e conclusão de diagonalizabilidade: os vetores v_1=(1,1)^T e v_2=(1,-1)^T não são múltiplos um do outro (um tem coordenadas iguais, o outro tem sinais opostos), portanto são linearmente independentes. Como temos dois autovetores linearmente independentes em \mathbb{R}^2, estes formam uma base: B é diagonalizável.

Passo 8

Construir a matriz P cujas colunas são os autovetores escolhidos e a matriz diagonal D com os autovalores na mesma ordem. Tomando as colunas na ordem (v_1,v_2),
P=\begin{pmatrix}1 & 1\\[4pt]1 & -1\end{pmatrix},\qquad D=\begin{pmatrix}6 & 0\\[4pt]0 & -2\end{pmatrix}.
Podemos verificar rapidamente que BP = P D porque Bv_1 = 6v_1 e Bv_2 = -2 v_2. Assim P^{-1}BP=D. (Se quisermos P ortogonal, normalizamos os autovetores dividindo por \sqrt{2}; então Q=P/\sqrt{2} satisfaz Q^{T}BQ=D.)]

Resposta

B é diagonalizável.
Base de autovetores: \left\{\begin{pmatrix}1\\[4pt]1\end{pmatrix},\begin{pmatrix}1\\[4pt]-1\end{pmatrix}\right\}.
Matriz diagonal associada (na ordem dos autovetores acima):
\begin{pmatrix}6 & 0\\[4pt]0 & -2\end{pmatrix}.]

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