Quais das matrizes abaixo são diagonalizáveis? Para aquelas que são, encontre uma base de autovetores e exiba a forma diagonal associada. C=\left(\begin{array}{cc}4 & -1 \\\\ 1 & 2\end{array}\right)
Passo 1
O enunciado pede para verificar se a matriz C é diagonalizável. Se for, devemos apresentar uma base de autovetores e a forma diagonal associada. A matriz dada é
Informações relevantes que já temos explicitamente: os coeficientes das entradas da matriz C (linha 1: 4,-1; linha 2: 1,2). A questão a responder é: C é diagonalizável? Em caso afirmativo, qual é uma base formada por autovetores e qual a matriz diagonal obtida?]
Passo 2
Vou explicar o que significa “diagonalizável” de forma bem direta e prática, para que você consiga usar isso na prova. Dizemos que uma matriz A de ordem n é diagonalizável quando existe uma matriz invertível P tal que
P^{-1} A P = D,
onde D é uma matriz diagonal. Uma maneira operacional de checar diagonalizabilidade é usar autovalores (valores próprios) e autovetores (vetores próprios):
Um autovalor \lambda de A é uma solução do polinômio característico \det(A-\lambda I)=0.
Para cada autovalor \lambda, o espaço próprio (eigenspace) é \ker(A-\lambda I); seus vetores são os autovetores associados.
A multiplicidade algébrica de \lambda é a multiplicidade de \lambda como raiz do polinômio característico.
A multiplicidade geométrica de \lambda é \dim \ker(A-\lambda I), ou seja, o número de autovetores linearmente independentes associados a \lambda.
Critério prático: A é diagonalizável se, e somente se, a soma das multiplicidades geométricas (ou seja, o número total de autovetores linearmente independentes) for igual a n. Em particular, para uma matriz 2\times2, se houver dois autovalores distintos então ela é diagonalizável (porque cada autovalor fornece pelo menos um autovetor independente). Se houver um autovalor com multiplicidade algébrica 2, precisamos checar se a multiplicidade geométrica também é 2. Se for apenas 1, a matriz não é diagonalizável.
Agora vamos aplicar isso ao caso concreto de C.
Passo 3
Calcular o polinômio característico de C. Usamos a fórmula \det(C-\lambda I). Primeiro escrevemos C-\lambda I:
Esse polinômio pode ser reconhecido como um quadrado perfeito:
\lambda^2-6\lambda+9=(\lambda-3)^2.
Logo o único autovalor é \lambda=3 com multiplicidade algébrica 2.
Passo 5
Agora vamos calcular o espaço próprio associado a \lambda=3\), ou seja \(\ker(C-3I)\). Primeiro escrevemos
\[C-3I=\begin{pmatrix}4-3 & -1\\[4pt] 1 & 2-3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1 & -1\\[4pt] 1 & -1\end{pmatrix}.
Procuramos vetores \begin{pmatrix}x\\[2pt] y\end{pmatrix} tais que (C-3I)\begin{pmatrix}x\\[2pt] y\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\[2pt] 0\end{pmatrix}. Isto dá o sistema linear
\begin{cases} 1\cdot x -1\cdot y = 0,\\[4pt] 1\cdot x -1\cdot y = 0. \end{cases}
As duas equações são iguais, então temos uma única condição x-y=0\], ou seja \(x=y. Portanto os autovetores têm a forma
O espaço próprio é gerado por um único vetor não nulo \begin{pmatrix}1\\[2pt] 1\end{pmatrix}. Assim a multiplicidade geométrica de \lambda=3 é 1.]
Passo 6
Comparando as multiplicidades: a multiplicidade algébrica de \lambda=3 é 2, enquanto a multiplicidade geométrica é 1. Isso significa que não existem dois autovetores linearmente independentes — só temos uma direção própria. Pelo critério explicado no Passo 2, como não conseguimos obter 2 autovetores independentes, a matriz C não é diagonalizável. Em palavras mais amigáveis: C tem um único autovalor (repetido), mas só dá para extrair uma única direção de autovetores, então não há base de \mathbb{R}^2 formada por autovetores de C.
Se quiser, um comentário extra (útil para a prova): nesse caso C é semelhante a uma matriz de Jordan do tipo
\begin{pmatrix}3 & 1\\[4pt] 0 & 3\end{pmatrix},
mas isso é a forma de Jordan, não uma diagonalização — porque a diagonalização exigiria zerar esse 1 acima da diagonal, o que não é possível aqui.]