Seja
um inteiro positivo cuja expressão na base 10 é
Provar que:
se e somente se
.
Passo 1
O enunciado dá um inteiro positivo
escrito na base 10 pela expansão
onde cada
é um dígito (ou seja, um inteiro com
).
A pergunta é provar que
A pergunta é provar que
Ou seja: mostrar que
é divisível por 3 exatamente quando a soma dos seus dígitos é divisível por 3.
Passo 2
Vamos trabalhar com o conceito de congruência módulo 3, porque ele traduz diretamente a ideia de “resto ao dividir por 3”. Escrevemos
para dizer que
e
deixam o mesmo resto na divisão por 3, isto é, que
divide
. Uma propriedade útil é: se
e
, então
e
. Vou usar essas propriedades para comparar
com a soma dos dígitos.
Passo 3
Primeiro note algo simples sobre o número 10. Calculamos a diferença
, e
é divisível por
. Logo,
Isto significa que, ao olhar restos módulo
, podemos substituir
por
.
Passo 4
Agora passo para potências de
. Usando a propriedade multiplicativa das congruências, se
então, para qualquer inteiro
,
Como
, segue que
(Se quiser, isso pode ser visto por indução: base
dá
, e o passo indutivo usa multiplicação por
.)
Passo 5
Multiplicando a congruência da potência por um dígito
(lembrando que
é inteiro), obtemos
Somando essas congruências para
(usando a propriedade aditiva),
Pelo enunciado, a soma à esquerda é exatamente
. Assim obtivemos a congruência fundamental
Passo 6
A congruência
significa precisamente que
divide
. Isso implica que
se, e somente se,
: se
então somando a divisibilidade do diferença dá
; recíproco igual. Portanto mostramos a equivalência desejada.
Passo 7
Para fixar a ideia, um exemplo rápido:
. Os dígitos somam
, e
é divisível por
, então pela propriedade
também é divisível por
(de fato
). Outro exemplo:
. A soma dos dígitos é
, que não é divisível por
, então
também não é divisível por
.