Seja b um inteiro positivo cuja expressão na base 10 é
b=r_{n} 10^{n}+r_{n-1} 10^{n-1}+\ldots+r_{1} 10+r_{0}
Provar que:
3 \mid b se e somente se 3 \mid\left(r_{0}+r_{1}+\ldots+r_{n}\right).

Passo 1

O enunciado dá um inteiro positivo b escrito na base 10 pela expansão
b=r_{n} 10^{n}+r_{n-1} 10^{n-1}+\ldots+r_{1} 10+r_{0},
onde cada r_{k} é um dígito (ou seja, um inteiro com 0\le r_{k}\le 9).
A pergunta é provar que
3\mid b \quad\text{se e somente se}\quad 3\mid\bigl(r_{0}+r_{1}+\ldots+r_{n}\bigr).
Ou seja: mostrar que b é divisível por 3 exatamente quando a soma dos seus dígitos é divisível por 3.

Passo 2

Vamos trabalhar com o conceito de congruência módulo 3, porque ele traduz diretamente a ideia de “resto ao dividir por 3”. Escrevemos x\equiv y\pmod{3} para dizer que x e y deixam o mesmo resto na divisão por 3, isto é, que 3 divide x-y. Uma propriedade útil é: se x\equiv y\pmod{3} e u\equiv v\pmod{3}, então x+u\equiv y+v\pmod{3} e xu\equiv yv\pmod{3}. Vou usar essas propriedades para comparar b com a soma dos dígitos.

Passo 3

Primeiro note algo simples sobre o número 10. Calculamos a diferença 10-1=9, e 9 é divisível por 3. Logo,
10\equiv 1\pmod{3}.
Isto significa que, ao olhar restos módulo 3, podemos substituir 10 por 1.

Passo 4

Agora passo para potências de 10. Usando a propriedade multiplicativa das congruências, se 10\equiv1\pmod{3} então, para qualquer inteiro k\ge 0,
10^{k}\equiv 1^{k}\pmod{3}.
Como 1^{k}=1, segue que
10^{k}\equiv 1\pmod{3}\quad\text{para todo }k\ge0.
(Se quiser, isso pode ser visto por indução: base k=0 10^{0}=1\equiv1, e o passo indutivo usa multiplicação por 10.)

Passo 5

Multiplicando a congruência da potência por um dígito r_{k} (lembrando que r_k é inteiro), obtemos
r_{k}10^{k}\equiv r_{k}\cdot 1 = r_{k}\pmod{3}.
Somando essas congruências para k=0,1,\dots,n (usando a propriedade aditiva),
r_{n}10^{n}+r_{n-1}10^{n-1}+\cdots+r_{1}10+r_{0} \equiv r_{n}+r_{n-1}+\cdots+r_{1}+r_{0}\pmod{3}.
Pelo enunciado, a soma à esquerda é exatamente b. Assim obtivemos a congruência fundamental
b\equiv r_{0}+r_{1}+\cdots+r_{n}\pmod{3}.

Passo 6

A congruência b\equiv r_{0}+\cdots+r_{n}\pmod{3} significa precisamente que 3 divide b-(r_{0}+\cdots+r_{n}). Isso implica que 3\mid b se, e somente se, 3\mid(r_{0}+\cdots+r_{n}): se 3\mid(r_{0}+\cdots+r_{n}) então somando a divisibilidade do diferença dá 3\mid b; recíproco igual. Portanto mostramos a equivalência desejada.

Passo 7

Para fixar a ideia, um exemplo rápido: b=369. Os dígitos somam 3+6+9=18, e 18 é divisível por 3, então pela propriedade 369 também é divisível por 3 (de fato 369=3\cdot123). Outro exemplo: b=472. A soma dos dígitos é 4+7+2=13, que não é divisível por 3, então 472 também não é divisível por 3.

Resposta

3\mid b \iff 3\mid\bigl(r_{0}+r_{1}+\ldots+r_{n}\bigr)

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