Seja b um inteiro positivo cuja expressão na base 10 é
b=r_{n} 10^{n}+r_{n-1} 10^{n-1}+\ldots+r_{1} 10+r_{0}
Provar que:
\quad 2 \mid b se e somente se 2 \mid r_{0}.

Passo 1

O enunciado dá um inteiro positivo b escrito na base 10 como
b=r_{n} 10^{n}+r_{n-1} 10^{n-1}+\ldots+r_{1} 10+r_{0},
onde cada r_{i} é um dígito (ou seja, um inteiro com 0\le r_{i}\le 9) e r_{n}\neq 0.
O que temos que provar é a equivalência
2\mid b\quad\text{se e somente se}\quad 2\mid r_{0},
ou seja, que b é par exatamente quando o dígito das unidades r_{0} é par.

Passo 2

Primeiro, definimos claramente o que significa “divisível por 2”. Dizemos que um inteiro x é divisível por 2 (escrevemos 2\mid x) quando existe um inteiro k tal que
x=2k.
Outra maneira útil de ver isso é dizer que x é par se e somente se o resto da divisão de x por 2 é 0 (em linguagem de congruências, x\equiv 0\pmod{2}).

Passo 3

Reescrevemos b de forma a separar o termo das unidades:
b = 10\bigl(r_{n}10^{\,n-1}+r_{n-1}10^{\,n-2}+\cdots+r_{2}10 + r_{1}\bigr) + r_{0}.
Chamei o parêntese de Q, isto é, coloque
Q = r_{n}10^{\,n-1}+r_{n-1}10^{\,n-2}+\cdots+r_{2}10 + r_{1},
então escrevemos simplesmente
b = 10Q + r_{0}.

Passo 4

Agora veja uma propriedade simples do número 10: ele é múltiplo de 2, porque 10=2\cdot 5. Portanto, para qualquer inteiro Q temos
10Q = 2\cdot(5Q),
ou seja, 10Q é divisível por 2. Em termos de paridade, 10Q é sempre um número par. Em linguagem de congruências, para todo inteiro k\ge 1 tem-se 10^{k}\equiv 0\pmod{2}, logo todo termo r_{i}10^{i} com i\ge 1 é múltiplo de 2.

Passo 5

Agora provamos a implicação direta: suponha que 2\mid r_{0} (ou seja, r_{0} é par). Então existe inteiro m tal que r_{0}=2m. Usando a decomposição b=10Q+r_{0} e sabendo que 10Q é par (Passo 4), temos que soma de dois pares é par. Formalmente:
b = 10Q + r_{0} = (\text{par}) + (\text{par}) = \text{par},
portanto 2\mid b. Assim mostramos que
2\mid r_{0}\quad\Rightarrow\quad 2\mid b.

Passo 6

Agora provamos a implicação inversa: suponha que 2\mid b (ou seja, b é par). Como 10Q é par (Passo 4), a diferença
r_{0} = b - 10Q
é a diferença de dois números pares. A diferença de dois pares é par, logo r_{0} é par. Assim obtemos
2\mid b\quad\Rightarrow\quad 2\mid r_{0}.

Passo 7

Juntando as duas implicações dos Passos 5 e 6, concluímos a equivalência desejada:
2\mid b \iff 2\mid r_{0}.
Para fixar a intuição com um exemplo rápido: se b=1234 então r_{0}=4 é par e 1234 é par; se b=1235 então r_{0}=5 é ímpar e 1235 é ímpar. Sempre ocorre que apenas o dígito das unidades decide a paridade.

Resposta

2\mid b \iff 2\mid r_{0}

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