Seja
um inteiro positivo cuja expressão na base 10 é
Provar que:
se e somente se
.
Passo 1
O enunciado dá um inteiro positivo
escrito na base 10 como
onde cada
é um dígito (ou seja, um inteiro com
) e
.
O que temos que provar é a equivalência
O que temos que provar é a equivalência
ou seja, que
é par exatamente quando o dígito das unidades
é par.
Passo 2
Primeiro, definimos claramente o que significa “divisível por 2”. Dizemos que um inteiro
é divisível por
(escrevemos
) quando existe um inteiro
tal que
Outra maneira útil de ver isso é dizer que
é par se e somente se o resto da divisão de
por
é
(em linguagem de congruências,
).
Passo 3
Reescrevemos
de forma a separar o termo das unidades:
Chamei o parêntese de
, isto é, coloque
então escrevemos simplesmente
Passo 4
Agora veja uma propriedade simples do número
: ele é múltiplo de
, porque
. Portanto, para qualquer inteiro
temos
ou seja,
é divisível por
. Em termos de paridade,
é sempre um número par. Em linguagem de congruências, para todo inteiro
tem-se
, logo todo termo
com
é múltiplo de
.
Passo 5
Agora provamos a implicação direta: suponha que
(ou seja,
é par). Então existe inteiro
tal que
. Usando a decomposição
e sabendo que
é par (Passo 4), temos que soma de dois pares é par. Formalmente:
portanto
. Assim mostramos que
Passo 6
Agora provamos a implicação inversa: suponha que
(ou seja,
é par). Como
é par (Passo 4), a diferença
é a diferença de dois números pares. A diferença de dois pares é par, logo
é par. Assim obtemos
Passo 7
Juntando as duas implicações dos Passos 5 e 6, concluímos a equivalência desejada:
Para fixar a intuição com um exemplo rápido: se
então
é par e
é par; se
então
é ímpar e
é ímpar. Sempre ocorre que apenas o dígito das unidades decide a paridade.