(UFPA) A matriz \mathrm{A}=\left(\mathrm{a}_{\mathrm{ij}}\right)_{3 \times 3} é definida de tal modo que \mathrm{a}_{\mathrm{ij}}=\left\{\begin{array}{c}(-1)^{\mathrm{i}+\mathrm{j}}, \text { se } \mathrm{i} \neq \mathrm{j} \\\\ 0, \text { se } \mathrm{i}=\mathrm{j}\end{array}\right.. EntãoAé igual a:
a) \left[\begin{array}{rrr}0 & -1 & 1 \\\\ -1 & 0 & -1 \\\\ 1 & -1 & 0\end{array}\right]
b) \left[\begin{array}{rrr}1 & 0 & 0 \\\\ -1 & -1 & 0 \\\\ 1 & 0 & 1\end{array}\right]
c) \left[\begin{array}{rrr}0 & 1 & -1 \\\\ 1 & 0 & 1 \\\\ -1 & 1 & 0\end{array}\right]
d) \left[\begin{array}{rrr}-1 & 0 & 0 \\\\ 0 & 1 & 0 \\\\ 0 & 0 & -1\end{array}\right]
e) \left[\begin{array}{rrr}0 & -1 & -1 \\\\ 1 & 0 & -1 \\\\ 1 & 1 & 0\end{array}\right]
Passo 1
O enunciado fornece uma matriz A=(a_{ij})_{3\times 3}\) definida por: para índices \(i,j\) de \(1\) a \(3\),
\[a_{ij} = \begin{cases}(-1)^{i+j}, & \text{se } i\neq j,\\[4pt] 0, & \text{se } i=j.\end{cases}
A pergunta é: qual das alternativas (a) a (e) corresponde à matriz A\] definida acima?
Informações relevantes dadas: cada elemento fora da diagonal é \((-1)^{i+j}; os elementos da diagonal principal são 0.]
Passo 2
Entendendo a potência de -1\): para qualquer inteiro \(k\),
\[(-1)^k = \begin{cases}1, & \text{se } k \text{ for par},\\[4pt]-1, & \text{se } k \text{ for ímpar}.\end{cases}
Isso ocorre porque (-1)^2=1\], \((-1)^3=-1, e o sinal alterna a cada incremento de 1 no expoente. Então, para calcular (-1)^{i+j} basta saber se i+j é par ou ímpar.]
Passo 3
Vamos escrever a matriz A explicitando as entradas usando a definição: