(UFPA) A matriz \mathrm{A}=\left(\mathrm{a}_{\mathrm{ij}}\right)_{3 \times 3} é definida de tal modo que \mathrm{a}_{\mathrm{ij}}=\left\{\begin{array}{c}(-1)^{\mathrm{i}+\mathrm{j}}, \text { se } \mathrm{i} \neq \mathrm{j} \\\\ 0, \text { se } \mathrm{i}=\mathrm{j}\end{array}\right.. EntãoAé igual a:
a) \left[\begin{array}{rrr}0 & -1 & 1 \\\\ -1 & 0 & -1 \\\\ 1 & -1 & 0\end{array}\right]
b) \left[\begin{array}{rrr}1 & 0 & 0 \\\\ -1 & -1 & 0 \\\\ 1 & 0 & 1\end{array}\right]
c) \left[\begin{array}{rrr}0 & 1 & -1 \\\\ 1 & 0 & 1 \\\\ -1 & 1 & 0\end{array}\right]
d) \left[\begin{array}{rrr}-1 & 0 & 0 \\\\ 0 & 1 & 0 \\\\ 0 & 0 & -1\end{array}\right]
e) \left[\begin{array}{rrr}0 & -1 & -1 \\\\ 1 & 0 & -1 \\\\ 1 & 1 & 0\end{array}\right]

Passo 1

O enunciado fornece uma matriz A=(a_{ij})_{3\times 3}\) definida por: para índices \(i,j\) de \(1\) a \(3\), \[a_{ij} = \begin{cases}(-1)^{i+j}, & \text{se } i\neq j,\\[4pt] 0, & \text{se } i=j.\end{cases}
A pergunta é: qual das alternativas (a) a (e) corresponde à matriz A\] definida acima? Informações relevantes dadas: cada elemento fora da diagonal é \((-1)^{i+j}; os elementos da diagonal principal são 0.]

Passo 2

Entendendo a potência de -1\): para qualquer inteiro \(k\), \[(-1)^k = \begin{cases}1, & \text{se } k \text{ for par},\\[4pt]-1, & \text{se } k \text{ for ímpar}.\end{cases}
Isso ocorre porque (-1)^2=1\], \((-1)^3=-1, e o sinal alterna a cada incremento de 1 no expoente. Então, para calcular (-1)^{i+j} basta saber se i+j é par ou ímpar.]

Passo 3

Vamos escrever a matriz A explicitando as entradas usando a definição:
A=\begin{pmatrix} 0 & (-1)^{1+2} & (-1)^{1+3} \\[4pt] (-1)^{2+1} & 0 & (-1)^{2+3} \\[4pt] (-1)^{3+1} & (-1)^{3+2} & 0 \end{pmatrix}.
Aqui já coloquei 0 nas posições diagonais (1,1),(2,2),(3,3) conforme o enunciado; agora vamos avaliar os expoentes.]

Passo 4

Calculemos a primeira linha (fora da diagonal):
(-1)^{1+2}=(-1)^3=-1 \quad\text{(pois \(3\) é ímpar),}éí
(-1)^{1+3}=(-1)^4=1 \quad\text{(pois \(4\) é par).}é
Logo a primeira linha é \bigl(0,\,-1,\,1\bigr).

Passo 5

Calculemos a segunda linha (fora da diagonal):
(-1)^{2+1}=(-1)^3=-1 \quad\text{(pois \(3\) é ímpar),}éí
(-1)^{2+3}=(-1)^5=-1 \quad\text{(pois \(5\) é ímpar).}éí
Logo a segunda linha é \bigl(-1,\,0,\,-1\bigr).

Passo 6

Calculemos a terceira linha (fora da diagonal):
(-1)^{3+1}=(-1)^4=1 \quad\text{(pois \(4\) é par),}é
(-1)^{3+2}=(-1)^5=-1 \quad\text{(pois \(5\) é ímpar).}éí
Logo a terceira linha é \bigl(1,\,-1,\,0\bigr).

Passo 7

Montando a matriz com as linhas calculadas temos:
A=\begin{pmatrix} 0 & -1 & 1\\[4pt] -1 & 0 & -1\\[4pt] 1 & -1 & 0 \end{pmatrix}.
Comparando com as alternativas fornecidas, essa matriz corresponde à alternativa (a).]

Resposta

(a)

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