Verifique se as afirmações são verdadeiras ou falsas. Justifique.
( ) O operador
definido por
é diagonalizável.
( ) O operador
Passo 1
O enunciado dá o operador linear
definido por
isto é,
leva um polinômio ao seu derivado. A questão é verificar se
é diagonalizável, ou seja, se existe base de
formada por autovetores de
.
Passo 2
Para saber se
é diagonalizável, precisamos dos autovalores e das dimensões dos respetivos espaços próprios. Começamos encontrando o polinômio característico de
. Numérica e conceitualmente, percebe-se que a única possibilidade de autovalor é
, porque
não gera nenhum múltiplo escalar de
exceto para a derivada do constante. Logo o polinômio característico é
e o autovalor
tem multiplicidade algébrica
.
Passo 3
Agora vamos ao espaço próprio correspondente a
, que é
Por definição de derivada,
é o conjunto dos polinômios cuja derivada é zero, isto é, os polinômios constantes. Logo
Isso significa que a multiplicidade geométrica do autovalor
é
.
Passo 4
Para ser diagonalizável, cada autovalor deve satisfazer
Aqui o autovalor tem multiplicidade algébrica
e geométrica
, e
. Portanto
não é diagonalizável.
Aqui o autovalor
Resposta
Falso.