Verifique se as afirmações são verdadeiras ou falsas. Justifique.
( ) O operador T \in \mathcal{L}\left(\mathcal{P}_{3}\right) definido por T(p)=p^{\prime} é diagonalizável.

Passo 1

O enunciado dá o operador linear T\colon \mathcal{P}_{3}\to \mathcal{P}_{3} definido por
T(p)=p',
isto é, T leva um polinômio ao seu derivado. A questão é verificar se T é diagonalizável, ou seja, se existe base de \mathcal{P}_{3} formada por autovetores de T.

Passo 2

Para saber se T é diagonalizável, precisamos dos autovalores e das dimensões dos respetivos espaços próprios. Começamos encontrando o polinômio característico de T. Numérica e conceitualmente, percebe-se que a única possibilidade de autovalor é \lambda=0, porque
T(1)=0,\quad T(x)=1,\quad T(x^2)=2x,\quad T(x^3)=3x^2
não gera nenhum múltiplo escalar de 1,x,x^2,x^3 exceto para a derivada do constante. Logo o polinômio característico é
\chi_T(\lambda)=\det(T-\lambda I)=(-\lambda)^4=\lambda^4,
e o autovalor \lambda=0 tem multiplicidade algébrica 4.

Passo 3

Agora vamos ao espaço próprio correspondente a \lambda=0, que é
\ker(T-0\cdot I)=\ker T.
Por definição de derivada, \ker T é o conjunto dos polinômios cuja derivada é zero, isto é, os polinômios constantes. Logo
\dim\bigl(\ker T\bigr)=1.
Isso significa que a multiplicidade geométrica do autovalor 0 é 1.

Passo 4

Para ser diagonalizável, cada autovalor deve satisfazer \text{multiplicidade geométrica} = \text{multiplicidade algébrica}.éé
Aqui o autovalor 0 tem multiplicidade algébrica 4 e geométrica 1, e 1\neq4. Portanto T não é diagonalizável.

Resposta

Falso.

Exercícios relacionados