Verifique se o vetor q(x)=x^{4}-6 x^{2}+x+1 é combinação linear dos vetores p_{1}(x)= -2+4 x^{3}, p_{2}(x)=3 x^{4}-5 x, p_{3}(x)=x^{2}+x.

Passo 1

O enunciado pede para verificar se o polinômio \displaystyle q(x)=x^{4}-6x^{2}+x+1
é combinação linear dos polinômios \displaystyle p_{1}(x)=-2+4x^{3},\;p_{2}(x)=3x^{4}-5x,\;p_{3}(x)=x^{2}+x.
O conteúdo usado é o de espaço vetorial de polinômios: basta tentar achar escalares a,b,c tais que
a\,p_{1}(x)+b\,p_{2}(x)+c\,p_{3}(x) = q(x).

Passo 2

Escrevemos a combinação genérica e expandimos por grau de x:
a(-2+4x^{3})+b(3x^{4}-5x)+c(x^{2}+x) = q(x).
Agrupando termos semelhantes, obtemos
3b\,x^{4} + 4a\,x^{3} + c\,x^{2} + (-5b+c)\,x + (-2a) = x^{4}-6x^{2}+x+1.

Passo 3

Agora equacionamos coeficientes de cada potência de x:
\begin{cases} 3b = 1,\\\\ 4a = 0,\\\ c = -6,\\\\ -5b + c = 1,\\\\ -2a = 1. \end{cases}

Passo 4

Resolvendo as duas primeiras e a terceira equações:
b = \tfrac{1}{3},\quad a = 0,\quad c = -6.
Mas da quinta equação viria
-2a = 1\;\Longrightarrow\;0 = 1,
o que é impossível. Ou ainda, usando a quarta:
-5\bigl(\tfrac{1}{3}\bigr)+(-6) =-\tfrac{5}{3}-6 =-\tfrac{23}{3}\neq 1.
Logo, o sistema é inconsistente.

Resposta

Não existe a,b,c que façam
a\,p_{1}(x)+b\,p_{2}(x)+c\,p_{3}(x)=q(x),
logo q(x) não é combinação linear de p_{1},p_{2},p_{3}.

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