1. Sendo V=\mathbb{R}^{3} e dado um conjunto de elementos de V, \beta=\{(1,1,-1) ;(0,1,1) ;(1,0,-2)\}.
    (a) Verifique se o conjunto é L.I. ou L.D.
    (b) Determine W=\left[v_{1} ; v_{2} ; v_{3}\right].
    (c) O conjunto \beta é uma base de V ? E de W ? Justifique exibindo se \beta é um gerador de W.
    (d) Qual a \operatorname{dim}(W) ?
    (e) Verifique se v_{4}=(3,4,-2) \in W. Caso afirmativo, escreva v_{4} como uma combinação linear da base de W.
    (f) Verifique se v_{5}=(1,1,1) \in W. Caso afirmativo, escreva v_{5} como uma combinação linear da base de W.

Passo 1

O enunciado dá V=\mathbb{R}^{3} e o conjunto \beta=\{v_{1},v_{2},v_{3}\} com
v_{1}=(1,1,-1),\qquad v_{2}=(0,1,1),\qquad v_{3}=(1,0,-2).
As perguntas são:
(a) verificar se \beta é linearmente independente (L.I.) ou dependente (L.D.);
(b) determinar W=\left[v_{1};v_{2};v_{3}\right] (ou seja, o subespaço gerado por esses vetores);
(c) dizer se \beta é base de V e se é base de W, justificando mostrando se \beta gera W;
(d) calcular \dim(W);
(e) verificar se v_{4}=(3,4,-2)\in W e, se sim, escrever v_{4} como combinação linear de uma base de W;
(f) fazer o mesmo para v_{5}=(1,1,1).

Passo 2

Primeiro, um mini-aula rápida sobre independência linear e determinante (modo amigo, calma):
  • Um conjunto de vetores em \mathbb{R}^{3} é linearmente independente se a única solução da equação
\alpha_{1}v_{1}+\alpha_{2}v_{2}+\alpha_{3}v_{3}=0
é \alpha_{1}=\alpha_{2}=\alpha_{3}=0.
  • Para três vetores em \mathbb{R}^{3}, uma maneira prática é formar a matriz cujas colunas são os vetores e calcular o determinante: se o determinante for diferente de zero, os vetores são L.I.; se o determinante for zero, são L.D.
  • Vou então montar a matriz com v_{1},v_{2},v_{3} como colunas e calcular o determinante.

Passo 3

Matriz formada pelas colunas v_{1},v_{2},v_{3}:
A=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 1\\[4pt] 1 & 1 & 0\\[4pt] -1 & 1 & -2 \end{pmatrix}.
Calculo do determinante usando a regra de Sarrus / fórmula padrão:
\det(A)=1\cdot(1\cdot(-2)-0\cdot1)-0\cdot(1\cdot(-2)-0\cdot(-1))+1\cdot(1\cdot1-1\cdot(-1)).
Agora avalio cada termo:
1\cdot(1\cdot(-2)-0\cdot1)=1\cdot(-2-0)=-2,
-0\cdot(\cdots)=0,
1\cdot(1\cdot1-1\cdot(-1))=1\cdot(1-(-1))=1\cdot2=2.
Somando:
\det(A)=-2+0+2=0.
Como \det(A)=0, os vetores são linearmente dependentes.]

Passo 4

Quando detectamos dependência linear, é útil encontrar a relação explícita entre os vetores (uma combinação linear não-trivial que dá zero). Montamos o sistema
\alpha_{1}v_{1}+\alpha_{2}v_{2}+\alpha_{3}v_{3}=0,
ou coordenada a coordenada:
\begin{cases} \alpha_{1} + 0\cdot\alpha_{2} + \alpha_{3}=0,\\[4pt] \alpha_{1} + \alpha_{2} + 0\cdot\alpha_{3}=0,\\[4pt] -\,\alpha_{1} + \alpha_{2} -2\alpha_{3}=0. \end{cases}
Da primeira equação vem \alpha_{1}=-\alpha_{3}. Da segunda vem \alpha_{2}=-\alpha_{1}. Substituindo \alpha_{1}=-\alpha_{3} na segunda obtemos \alpha_{2}=\alpha_{3}. Agora checamos a terceira:
-(-\alpha_{3}) + \alpha_{3} -2\alpha_{3} = \alpha_{3}+\alpha_{3}-2\alpha_{3}=0,
que é satisfeita para todo \alpha_{3}. Escolhendo \alpha_{3}=1 obtemos \alpha_{1}=-1,\\ \alpha_{2}=1,\\ \alpha_{3}=1. Ou seja
-1\cdot v_{1}+1\cdot v_{2}+1\cdot v_{3}=0,
ou reescrevendo:
v_{1}=v_{2}+v_{3}.
Essa é a relação de dependência. Isso já nos dá informação valiosa sobre W.]

Passo 5

Agora determinamos W=\left[v_{1};v_{2};v_{3}\right]. Por definição W é o subespaço gerado por v_{1},v_{2},v_{3}, isto é,
W=\operatorname{span}\{v_{1},v_{2},v_{3}\}.
Como encontramos a relação v_{1}=v_{2}+v_{3}, qualquer combinação linear de v_{1},v_{2},v_{3} pode ser escrita apenas com v_{2} e v_{3}. Portanto
W=\operatorname{span}\{v_{2},v_{3}\}.
Isso mostra explicitamente que \{v_{2},v_{3}\} gera W e que v_{1} não adiciona dimensão nova.

Passo 6

Mini-aula sobre base e dimensão (rapidinho, estilo colega):
  • Uma base de um subespaço é um conjunto de vetores que gera o subespaço e é linearmente independente.
  • Já vimos que \beta é linearmente dependente, logo não pode ser base de \mathbb{R}^{3} (pois uma base de \mathbb{R}^{3} precisaria ter 3 vetores L.I.). Logo \beta não é base de V.
  • Também para ser base de W o conjunto deve ser L.I. e gerar W. \beta gera W por definição (pois W foi definido como span de \beta), mas é dependente, então não é base de W.
  • Contudo \{v_{2},v_{3}\} é L.I. (não são múltiplos escalares um do outro) e gera W, portanto é uma base de W.
Logo:
  • \beta não é base de V;
  • \beta também não é base de W (por dependência);
  • \beta gera W porque W=\operatorname{span}\{v_{1},v_{2},v_{3}\} (e ainda mais: W=\operatorname{span}\{v_{2},v_{3}\}).

Passo 7

Dimensão de W. Como \{v_{2},v_{3}\} é uma base de W com dois vetores L.I., temos
\dim(W)=2.

Passo 8

Verificar se v_{4}=(3,4,-2)\in W\). Método: resolver \(v_{4}=s\,v_{2}+t\,v_{3}\) (mais simples que usar os três, pois \(W=\operatorname{span}\{v_{2},v_{3}\}\)). Escrevendo coordenadas: \[s\,(0,1,1)+t\,(1,0,-2)=(t,\;s,\;s-2t) \stackrel{!}{=}(3,4,-2).
Comparando coordenadas obtemos o sistema
\begin{cases} t=3,\\[4pt] s=4,\\[4pt] s-2t=-2. \end{cases}
Substituindo t=3\] e \(s=4 na terceira equação: 4-2\cdot3=4-6=-2, que é satisfeita. Portanto v_{4}\in W e os coeficientes são s=4,\\ t=3. Assim
v_{4}=4\,v_{2}+3\,v_{3}.
Se quisermos escrever em termos de \beta (com v_{1},v_{2},v_{3}), como v_{1}=v_{2}+v_{3} podemos também escrever, por exemplo,
v_{4}=0\cdot v_{1}+4\cdot v_{2}+3\cdot v_{3},
ou combinar de outras maneiras usando a relação entre os vetores (infinitas representações porque \beta é dependente).]

Passo 9

Verificar se v_{5}=(1,1,1)\in W\). Novamente tentamos \(v_{5}=s\,v_{2}+t\,v_{3}=(t,\;s,\;s-2t)\). Igualando a \((1,1,1)\) obtemos \[\begin{cases} t=1,\\[4pt] s=1,\\[4pt] s-2t=1. \end{cases}
Substituindo s=1\] e \(t=1 na terceira equação dá 1-2\cdot1=1-2=-1, que não é igual a 1. Portanto o sistema é inconsistente e v_{5}\notin W. Conclusão: não existe combinação linear de v_{1},v_{2},v_{3} que produza v_{5}.]

Resposta

(a) \beta é linearmente dependente (L.D.).
(b) W=\operatorname{span}\{v_{1},v_{2},v_{3}\}=\operatorname{span}\{v_{2},v_{3}\}.
(c) \beta não é base de V. \beta também não é base de W (é dependente). Sim, \beta gera W por definição (mais economicamente W é gerado por \{v_{2},v_{3}\}).
(d) \dim(W)=2.
(e) v_{4}=(3,4,-2)\in W e v_{4}=4\,v_{2}+3\,v_{3}.
(f) v_{5}=(1,1,1)\notin W.

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