Matrizes idempotentes são matrizes quadradas tais que A A=A.
a) Mostre que, se A é idempotente, então, ( I-A ) também é idempotente.
b) E ainda, mostre que ( A-I ) não é idempotente.
c) Qual a relação entre (I-A)^2 e (A-I)^2 ?

Passo 1

Na questão temos uma matriz quadrada A que satisfaz a propriedade de idempotência A^2 = A. Precisaremos usar operações de soma, subtração e produto com a matriz identidade I para mostrar as propriedades pedidas.

Passo 2

Para (a), calculemos (I - A)^2. Desenvolvendo o produto, temos:
(I-A)^2 = (I-A)(I-A) = Icdot I - Icdot A - Acdot I + Acdot A = I - A - A + A^2
Como A^2 = A, segue:
(I-A)^2 = I - 2A + A = I - A
Portanto (I-A)^2 = I - A, mostrando que I-A é idempotente.

Passo 3

Para (b), consideremos (A - I)^2. Analogamente:
(A-I)^2 = A^2 - Acdot I - Icdot A + I^2 = A - A - A + I = I - A
Isso mostra que (A-I)^2 = I - A. Mas, para ser idempotente, seria preciso (A-I)^2 = A - I, o que não ocorre (a menos de um caso degenerado). Logo, A - I não é idempotente.

Passo 4

Para ©, dos cálculos acima vemos que:
(I-A)^2 = I - A
(A-I)^2 = I - A
Logo, os dois quadrados coincidem:

Resposta

(I-A)^2 = (A-I)^2 = I - A

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