Matrizes idempotentes são matrizes quadradas tais que
.
a) Mostre que, se A é idempotente, então, (
) também é idempotente.
b) E ainda, mostre que (
) não é idempotente.
c) Qual a relação entre
e
?
a) Mostre que, se A é idempotente, então, (
b) E ainda, mostre que (
c) Qual a relação entre
Passo 1
Na questão temos uma matriz quadrada
que satisfaz a propriedade de idempotência
. Precisaremos usar operações de soma, subtração e produto com a matriz identidade
para mostrar as propriedades pedidas.
Passo 2
Para (a), calculemos
. Desenvolvendo o produto, temos:
Como
, segue:
Portanto
, mostrando que
é idempotente.
Passo 3
Para (b), consideremos
. Analogamente:
Isso mostra que
. Mas, para ser idempotente, seria preciso
, o que não ocorre (a menos de um caso degenerado). Logo,
não é idempotente.
Passo 4
Para ©, dos cálculos acima vemos que:
Logo, os dois quadrados coincidem: