Sejam A e B similares, ou seja, B=P^-1 A P. Mostre que, para toda função polinomial q(B)=a0 I+a1 B+ldots+ap B^p tem-se que:
q(B)=P^-1 q(A) P
Sugestão: mostre que B^k=P^-1 A^k P e, então, mostre o resultado acima.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, dadas matrizes similares A e B, ou seja, B = P^-1AP, a aplicação de um polinômio q(cdot) satisfaz q(B) = P^-1q(A)P. O conteúdo envolve propriedades de matrizes similares e manipulação de potências de matrizes. Vamos precisar usar indução em potências de matrizes e depois somar estas potências no polinômio.

Passo 2

Vamos provar por indução que, para todo k>=1, vale B^k = P^-1A^kP.
Na base k=1 temos
B^1 = B = P^-1AP
Supondo que B^k = P^-1A^kP, então
B^k+1 = B^kB = (P^-1A^kP)(P^-1AP) = P^-1A^k (PP^-1) AP = P^-1A^k+1P
Logo, por indução, a fórmula vale para todo k.

Passo 3

Agora consideramos o polinômio
q(B) = a0I + a1B + dots + apB^p
Substituindo cada B^k pela forma P^-1A^kP e usando linearidade, obtemos
q(B) = a0(P^-1IP) + a1(P^-1AP) + dots + ap(P^-1A^pP)
Como P^-1IP=I, podemos fatorar P^-1 à esquerda e P à direita, chegando a
q(B) = P^-1(a0I + a1A + dots + apA^p)P = P^-1q(A)P
Isto demonstra que q(B) = P^-1q(A)P.

Resposta

q(B) = P^-1,q(A),P

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