Sejam A e
similares, ou seja,
. Mostre que, para toda função polinomial
tem-se que:
Sugestão: mostre que
e, então, mostre o resultado acima.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que, dadas matrizes similares
e
, ou seja,
, a aplicação de um polinômio
satisfaz
. O conteúdo envolve propriedades de matrizes similares e manipulação de potências de matrizes. Vamos precisar usar indução em potências de matrizes e depois somar estas potências no polinômio.
Passo 2
Vamos provar por indução que, para todo
, vale
.
Na base
temos
Supondo que
, então
Logo, por indução, a fórmula vale para todo
.
Passo 3
Agora consideramos o polinômio
Substituindo cada
pela forma
e usando linearidade, obtemos
Como
, podemos fatorar
à esquerda e
à direita, chegando a
Isto demonstra que
.