Seja a matriz de variâncias e covariâncias ccc25 & -2 & 6 -2 & 9 & 1 6 & 1 & 4 (use o R ou o SAS).
a) Faça a sua decomposição espectral.
b) Mostre que Lambda=U^t Sigma U
c) Encontre Sigma^-1 / 2 e mostre que Sigma^-1 / 2 Sigma^-1 / 2=Sigma^-1.

Passo 1

Resumo do enunciado e conteúdo: temos a matriz de variâncias e covariâncias Sigma=25 & -2 & 6 -2 & 9 & 1 6 & 1 & 4. Vamos usar decomposição espectral (autovalores e autovetores ortonormais), verificar Lambda=U^TSigma U e encontrar Sigma^-1/2 mostrando que Sigma^-1/2Sigma^-1/2=Sigma^-1.

Passo 2

Para achar os autovalores resolvemos o polinômio característico det(Sigma-lambda I)=0. O traço é 38, a soma dos menores principais é 320 e o determinante é 511. Assim obtivemos numericamente as raízes
lambda1approx26.747,lambda2approx9.168,lambda3approx2.085

Passo 3

Para cada lambdai resolvemos (Sigma-lambdai I)vi=0 e normalizamos. Os vetores próprios unitários são, em colunas,
U= 0.964&0.0346&0.264 -0.0946&0.9716&0.2123 0.249&0.2326&-0.9407 , Lambda=diag(26.747,9.168,2.085)

Passo 4

Montamos então a decomposição espectral
Sigma = U,Lambda,U^T

Passo 5

Verificamos que
U^TSigma U=Lambda para fechar a parte b), usando a ortonormalidade de U.

Passo 6

Para Sigma^-1/2 escrevemos
Sigma^-1/2=U,Lambda^-1/2,U^T, Lambda^-1/2=diag(1/raiz26.747,1/raiz9.168,1/raiz2.085)

Passo 7

Calculando o produto obtemos (aproximadamente)
Sigma^-1/2approx 0.2283 & 0.0323 & -0.1228 0.0323 & 0.3446 & -0.0683 -0.1228 & -0.0683 & 0.6429

Passo 8

Finalmente, checamos
$$\Sigma{-1/2},\Sigma{-1/2}=U,\Lambda{-1/2}(UTU),\Lambda{-1/2},UT
=U,\Lambda{-1},UT=\Sigma^{-1}$$
o que conclui a parte c).

Resposta

a) Decomposição espectral:
Sigma=U,Lambda,U^T, U= 0.964&0.0346&0.264 -0.0946&0.9716&0.2123 0.249&0.2326&-0.9407 , Lambda=diag(26.747,9.168,2.085)
b) Verificou-se que
U^TSigma U=Lambda
c) A raiz inversa é
Sigma^-1/2=U,Lambda^-1/2,U^Tapprox 0.2283 & 0.0323 & -0.1228 0.0323 & 0.3446 & -0.0683 -0.1228 & -0.0683 & 0.6429 ,
e de fato
Sigma^-1/2,Sigma^-1/2=Sigma^-1

Exercícios relacionados