Para as matrizes A=\left(\begin{array}{cc}2 & -1 \\\\ 4 & -2\end{array}\right) e B=\left(\begin{array}{ll}0 & 2 \\\\ 2 & 0\end{array}\right), mostre que
A B \neq B A.

Passo 1

O enunciado dá duas matrizes
A = \begin{pmatrix}2 & -1 \\[6pt] 4 & -2\end{pmatrix}
e
B = \begin{pmatrix}0 & 2 \\[6pt] 2 & 0\end{pmatrix}
e pede para mostrar que a multiplicação de matrizes não é comutativa neste caso, ou seja, que
AB \neq BA.
Para isso, vamos usar a definição de multiplicação de matrizes:
(AB)_{ij} = \sum_{k=1}^{2} A_{ik}\,B_{kj}.]

Passo 2

Calcular AB. Usando
(AB)_{11} = A_{11}B_{11} + A_{12}B_{21} = 2\cdot0 + (-1)\cdot2 = -2,
(AB)_{12} = A_{11}B_{12} + A_{12}B_{22} = 2\cdot2 + (-1)\cdot0 = 4,
(AB)_{21} = A_{21}B_{11} + A_{22}B_{21} = 4\cdot0 + (-2)\cdot2 = -4,
(AB)_{22} = A_{21}B_{12} + A_{22}B_{22} = 4\cdot2 + (-2)\cdot0 = 8.
Logo,
AB = \begin{pmatrix}-2 & 4 \\[6pt] -4 & 8\end{pmatrix}.]

Passo 3

Calcular BA. Agora
(BA)_{11} = B_{11}A_{11} + B_{12}A_{21} = 0\cdot2 + 2\cdot4 = 8,
(BA)_{12} = B_{11}A_{12} + B_{12}A_{22} = 0\cdot(-1) + 2\cdot(-2) = -4,
(BA)_{21} = B_{21}A_{11} + B_{22}A_{21} = 2\cdot2 + 0\cdot4 = 4,
(BA)_{22} = B_{21}A_{12} + B_{22}A_{22} = 2\cdot(-1) + 0\cdot(-2) = -2.
Portanto,
BA = \begin{pmatrix}8 & -4 \\[6pt] 4 & -2\end{pmatrix}.]

Passo 4

Comparando
AB = \begin{pmatrix}-2 & 4 \\[6pt] -4 & 8\end{pmatrix} \quad\text{e}\quad BA = \begin{pmatrix}8 & -4 \\[6pt] 4 & -2\end{pmatrix},
vemos que pelo menos um elemento correspondente difere (por exemplo, (AB)_{11} = -2\neq 8 = (BA)_{11}), logo
AB \neq BA.]

Resposta

AB = \begin{pmatrix}-2 & 4 \\[6pt] -4 & 8\end{pmatrix}, \quad BA = \begin{pmatrix}8 & -4 \\[6pt] 4 & -2\end{pmatrix},
portanto AB \neq BA.]

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