Para as matrizes A=\left(\begin{array}{cc}2 & -1 \\\\ 4 & -2\end{array}\right) e B=\left(\begin{array}{ll}0 & 2 \\\\ 2 & 0\end{array}\right), mostre que
A^{2}=0_{2 \times 2}.

Passo 1

O enunciado dá as matrizes
A = \begin{pmatrix}2 & -1 \\[6pt] 4 & -2\end{pmatrix}
e
B = \begin{pmatrix}0 & 2 \\[3pt] 2 & 0\end{pmatrix},
mas para mostrar que A^{2}=0_{2\times2} só precisamos de A. O conteúdo aqui é produto de matrizes e potência de matriz (no caso, A^2=A\cdot A).]

Passo 2

Pela definição de produto,
A^2 \;=\; A\cdot A \;=\; \begin{pmatrix}2 & -1 \\[3pt] 4 & -2\end{pmatrix} \begin{pmatrix}2 & -1 \\[3pt] 4 & -2\end{pmatrix}.]

Passo 3

Vamos calcular a primeira linha de A^2:
(A^2)_{11} =2\cdot2 + (-1)\cdot4 =4 - 4 =0,
(A^2)_{12} =2\cdot(-1) + (-1)\cdot(-2) =-2 + 2 =0.

Passo 4

Agora a segunda linha de A^2:
(A^2)_{21} =4\cdot2 + (-2)\cdot4 =8 - 8 =0,
(A^2)_{22} =4\cdot(-1) + (-2)\cdot(-2) =-4 + 4 =0.

Resposta

A^2 = \begin{pmatrix} 0 & 0 \\[3pt] 0 & 0 \end{pmatrix} =0_{2\times2}.]

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