As matrizes P=\left[\begin{array}{cc}2 i & -2 i \\\\ 1 & 1\end{array}\right] e D=\left[\begin{array}{cc}-1+2 i & 0 \\\\ 0 & -1-2 i\end{array}\right] são tais que A=P D P^{-1}.
A solução geral é
\begin{aligned} & {\left[\begin{array}{l} x_{1}(t) \\\ x_{2}(t) \end{array}\right]=c_{1} e^{-t}\left(\cos 2 t\left[\begin{array}{l} 0 \\\\ 1 \end{array}\right]-\operatorname{sen} 2 t\left[\begin{array}{l} 2 \\\\ 0 \end{array}\right]\right)+} \\\ & c_{2} e^{-t}\left(\cos 2 t\left[\begin{array}{l} 2 \\\\ 0 \end{array}\right]+\operatorname{sen} 2 t\left[\begin{array}{l} 0 \\\\ 1 \end{array}\right]\right) \end{aligned}

Passo 1

O enunciado fornece as matrizes
P=\begin{pmatrix}2i & -2i\\[4pt] 1 & 1\end{pmatrix}, \qquad D=\begin{pmatrix}-1+2i & 0\\[4pt] 0 & -1-2i\end{pmatrix},
e diz que A=PDP^{-1}. O objetivo implícito é obter a solução geral do sistema diferencial linear homogêneo
\frac{d}{dt}x(t)=A\,x(t),
no espaço real, escrevendo a solução em termos de constantes reais c_{1},c_{2}. As informações relevantes são:
  • as colunas de P são vetores próprios (complexos) de A: v_{1}=\begin{pmatrix}2i\\[2pt]1\end{pmatrix} para \lambda_{1}=-1+2i e v_{2}=\begin{pmatrix}-2i\\[2pt]1\end{pmatrix} para \lambda_{2}=-1-2i;
  • a matriz D contém os autovalores na diagonal, logo A é diagonalizável sobre \mathbb{C} por P.
    A partir disso vamos derivar passo a passo a solução real geral x(t).]

Passo 2

Troca de variáveis para resolver o sistema de forma simples.
Explicação do método (curtinha): se A=PDP^{-1} e definirmos y(t)=P^{-1}x(t), então
\frac{d}{dt}y(t)=P^{-1}\frac{d}{dt}x(t)=P^{-1}A x(t)=P^{-1}A P y(t)=P^{-1}P D y(t)=D\,y(t).
Ou seja, obtemos o sistema diagonal decouplado y'(t)=D y(t), que é fácil de resolver componente a componente.

Passo 3

Resolver o sistema diagonal y'(t)=D y(t).
Escrevendo y(t)=\begin{pmatrix}y_{1}(t)\\[2pt] y_{2}(t)\end{pmatrix}, as equações são
y_{1}'(t)=(-1+2i)\,y_{1}(t),\qquad y_{2}'(t)=(-1-2i)\,y_{2}(t).
Cada equação é uma equação diferencial linear simples do tipo z'=\lambda z cuja solução é z(t)=z(0)e^{\lambda t}. Portanto
y_{1}(t)=C_{1} e^{(-1+2i)t},\qquad y_{2}(t)=C_{2} e^{(-1-2i)t},
onde C_{1},C_{2} são constantes complexas (determindas pelas condições iniciais).]

Passo 4

Voltar para x(t) usando x(t)=P\,y(t) e escrever a solução em termos de autovetores.
Temos
x(t)=C_{1} e^{(-1+2i)t}v_{1}+C_{2} e^{(-1-2i)t}v_{2},
onde v_{1}=\begin{pmatrix}2i\\[2pt]1\end{pmatrix} e v_{2}=\begin{pmatrix}-2i\\[2pt]1\end{pmatrix} são as colunas de P.
Essa é uma forma complexa da solução. Como A é real, queremos obter a forma real da solução, isto é, combinação linear real de duas soluções reais independentes. Para isso é padrão usar as partes real e imaginária de e^{\lambda t}v quando \lambda e v são conjugados complexos.]

Passo 5

Calcular as partes real e imaginária do autovetor v_{1} e usar as fórmulas de Euler.
Primeiro, escrevemos v_{1} em partes real e imaginária:
v_{1}=\begin{pmatrix}2i\\[2pt]1\end{pmatrix}=\underbrace{\begin{pmatrix}0\\[2pt]1\end{pmatrix}}_{\Re(v_{1})}+i\underbrace{\begin{pmatrix}2\\[2pt]0\end{pmatrix}}_{\Im(v_{1})}.
Repare que \Re(v_{1})=\begin{pmatrix}0\\[2pt]1\end{pmatrix} e \Im(v_{1})=\begin{pmatrix}2\\[2pt]0\end{pmatrix}.
Usamos também a fórmula de Euler para e^{(-1+2i)t}:
e^{(-1+2i)t}=e^{-t}e^{2i t}=e^{-t}(\cos 2t + i\sin 2t).
Agora escrevemos e^{(-1+2i)t}v_{1} e extraímos sua parte real e imaginária. Multiplicando:
e^{(-1+2i)t}v_{1}=e^{-t}(\cos 2t + i\sin 2t)\big(\Re(v_{1})+i\Im(v_{1})\big).
Fazendo a multiplicação (produto de complexos/vetores) e separando parte real e imaginária obtemos
\begin{aligned} \Re\big(e^{(-1+2i)t}v_{1}\big)&=e^{-t}\big(\cos 2t\,\Re(v_{1})-\sin 2t\,\Im(v_{1})\big),\\[4pt] \Im\big(e^{(-1+2i)t}v_{1}\big)&=e^{-t}\big(\sin 2t\,\Re(v_{1})+\cos 2t\,\Im(v_{1})\big). \end{aligned}]

Passo 6

Concluir a forma real geral da solução como combinação linear das duas soluções reais obtidas.
As duas colunas independentes reais que geram todas as soluções reais são exatamente as expressões acima (parte real e imaginária). Portanto a solução geral real é
x(t)=c_{1}\,e^{-t}\big(\cos 2t\,\Re(v_{1})-\sin 2t\,\Im(v_{1})\big) + c_{2}\,e^{-t}\big(\sin 2t\,\Re(v_{1})+\cos 2t\,\Im(v_{1})\big),
onde c_{1},c_{2} são constantes reais arbitrárias (obtidas a partir das constantes complexas originais combinadas apropriadamente).

Passo 7

Substituir \Re(v_{1}) e \Im(v_{1}) pelos vetores explícitos para escrever o resultado na mesma forma do enunciado.
Lembrando \Re(v_{1})=\begin{pmatrix}0\\[2pt]1\end{pmatrix} e \Im(v_{1})=\begin{pmatrix}2\\[2pt]0\end{pmatrix}, obtemos
x(t)=c_{1} e^{-t}\!\left(\cos 2t\begin{pmatrix}0\\[2pt]1\end{pmatrix}-\sin 2t\begin{pmatrix}2\\[2pt]0\end{pmatrix}\right) + c_{2} e^{-t}\!\left(\sin 2t\begin{pmatrix}0\\[2pt]1\end{pmatrix}+\cos 2t\begin{pmatrix}2\\[2pt]0\end{pmatrix}\right).
Reorganizando (trocando a ordem dentro do segundo parêntese para coincidir com a forma do enunciado) chega-se à forma final equivalente:
\begin{aligned} x(t)=\; & c_{1} e^{-t}\!\left(\cos 2t\begin{pmatrix}0\\[2pt]1\end{pmatrix}-\sin 2t\begin{pmatrix}2\\[2pt]0\end{pmatrix}\right)\\[6pt] & + c_{2} e^{-t}\!\left(\cos 2t\begin{pmatrix}2\\[2pt]0\end{pmatrix}+\sin 2t\begin{pmatrix}0\\[2pt]1\end{pmatrix}\right), \end{aligned}
que, componente a componente, dá exatamente a solução apresentada no enunciado.]

Resposta

\begin{aligned} \begin{pmatrix}x_{1}(t)\\[4pt]x_{2}(t)\end{pmatrix} &=c_{1} e^{-t}\!\left(\cos 2t\begin{pmatrix}0\\[2pt]1\end{pmatrix}-\sin 2t\begin{pmatrix}2\\[2pt]0\end{pmatrix}\right)\\[8pt] &\quad +c_{2} e^{-t}\!\left(\cos 2t\begin{pmatrix}2\\[2pt]0\end{pmatrix}+\sin 2t\begin{pmatrix}0\\[2pt]1\end{pmatrix}\right) \end{aligned}]

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