As matrizes P=\left[\begin{array}{cc}2 i & -2 i \\\\ 1 & 1\end{array}\right] e D=\left[\begin{array}{cc}-1+2 i & 0 \\\\ 0 & -1-2 i\end{array}\right] são tais que A=P D P^{-1}.
e diz que A=PDP^{-1}. O objetivo implícito é obter a solução geral do sistema diferencial linear homogêneo
\frac{d}{dt}x(t)=A\,x(t),
no espaço real, escrevendo a solução em termos de constantes reais c_{1},c_{2}. As informações relevantes são:
as colunas de P são vetores próprios (complexos) de A: v_{1}=\begin{pmatrix}2i\\[2pt]1\end{pmatrix} para \lambda_{1}=-1+2i e v_{2}=\begin{pmatrix}-2i\\[2pt]1\end{pmatrix} para \lambda_{2}=-1-2i;
a matriz D contém os autovalores na diagonal, logo A é diagonalizável sobre \mathbb{C} por P.
A partir disso vamos derivar passo a passo a solução real geral x(t).]
Passo 2
Troca de variáveis para resolver o sistema de forma simples.
Explicação do método (curtinha): se A=PDP^{-1} e definirmos y(t)=P^{-1}x(t), então
\frac{d}{dt}y(t)=P^{-1}\frac{d}{dt}x(t)=P^{-1}A x(t)=P^{-1}A P y(t)=P^{-1}P D y(t)=D\,y(t).
Ou seja, obtemos o sistema diagonal decouplado y'(t)=D y(t), que é fácil de resolver componente a componente.
Passo 3
Resolver o sistema diagonal y'(t)=D y(t).
Escrevendo y(t)=\begin{pmatrix}y_{1}(t)\\[2pt] y_{2}(t)\end{pmatrix}, as equações são
onde v_{1}=\begin{pmatrix}2i\\[2pt]1\end{pmatrix} e v_{2}=\begin{pmatrix}-2i\\[2pt]1\end{pmatrix} são as colunas de P.
Essa é uma forma complexa da solução. Como A é real, queremos obter a forma real da solução, isto é, combinação linear real de duas soluções reais independentes. Para isso é padrão usar as partes real e imaginária de e^{\lambda t}v quando \lambda e v são conjugados complexos.]
Passo 5
Calcular as partes real e imaginária do autovetor v_{1} e usar as fórmulas de Euler.
Primeiro, escrevemos v_{1} em partes real e imaginária:
Concluir a forma real geral da solução como combinação linear das duas soluções reais obtidas.
As duas colunas independentes reais que geram todas as soluções reais são exatamente as expressões acima (parte real e imaginária). Portanto a solução geral real é