As matrizes P=\left[\begin{array}{cc}1 & 1 \\\\ -1 & 3\end{array}\right] e D=\left[\begin{array}{ll}1 & 0 \\\\ 0 & 5\end{array}\right] são tais que A=P D P^{-1}.
Ou seja, \mathbf{p}_1 e \mathbf{p}_2 são autovetores de A associados aos autovalores \lambda_1=1 e \lambda_2=5, respectivamente. Isso já é metade do caminho para a solução: quando se tem uma base de autovetores, o sistema desacopla facilmente.]
Passo 3
Vamos fazer a mudança de variáveis que diagonaliza o sistema. Defina
Cada equação é uma ODE linear simples de primeira ordem do tipo z'= \lambda z, cuja solução geral é z(t)=C e^{\lambda t}, com C constante arbitrária. Portanto
y_1(t)=c_1 e^{t},\qquad y_2(t)=c_2 e^{5t},
onde c_1 e c_2 são constantes que dependem das condições iniciais.
Passo 5
Agora voltamos às variáveis originais usando \mathbf{x}(t)=P\mathbf{y}(t). Substituindo \mathbf{y}(t) achado:
que é exatamente a forma canônica de solução quando se tem uma base de autovetores: combinações lineares dos autovetores multiplicadas por exponenciais dos autovalores.]
Passo 6
(Adendo prático: se precisar relacionar c_1,c_2 a uma condição inicial \mathbf{x}(0)=\mathbf{x}_0, basta calcular \mathbf{y}(0)=P^{-1}\mathbf{x}_0 e pegar c_1=(\mathbf{y}(0))_1,\;c_2=(\mathbf{y}(0))_2. Para referência, P^{-1} é)