As matrizes P=\left[\begin{array}{cc}1 & -1 \\\\ 1 & 1\end{array}\right] e D=\left[\begin{array}{ll}2 & 0 \\\\ 0 & 0\end{array}\right] são tais que A=P D P^{-1}.
A solução geral é
\left[\begin{array}{l} x_{1}(t) \\\ x_{2}(t) \end{array}\right]=c_{1} e^{2 t}\left[\begin{array}{l} 1 \\\\ 1 \end{array}\right]+c_{2}\left[\begin{array}{r} -1 \\\\ 1 \end{array}\right]

Passo 1

O enunciado nos dá as matrizes
P=\begin{bmatrix}1 & -1\\[4pt]1 & 1\end{bmatrix},\qquad D=\begin{bmatrix}2 & 0\\[4pt]0 & 0\end{bmatrix},
e diz que A=PDP^{-1}. A tarefa implícita é obter a solução geral do sistema diferencial linear de primeira ordem
\frac{d}{dt}x(t)=A\,x(t),
onde x(t)=\begin{bmatrix}x_1(t)\\[4pt]x_2(t)\end{bmatrix}. O enunciado apresenta como solução geral
\begin{bmatrix}x_1(t)\\[4pt]x_2(t)\end{bmatrix}=c_1 e^{2t}\begin{bmatrix}1\\[4pt]1\end{bmatrix}+c_2\begin{bmatrix}-1\\[4pt]1\end{bmatrix},
e queremos justificar passo a passo por que essa é de fato a solução geral.]

Passo 2

Ideia do método (sem cálculos ainda): quando A é diagonalizável na forma A=PDP^{-1}, uma transformação de variáveis y(t)=P^{-1}x(t) transforma o sistema acoplado \,x'=Ax\,$ num sistema diagonal e separado \(\,y'=Dy. Sistemas com matriz diagonal são fáceis: cada componente satisfaz uma equação escalar do tipo y_i'=\lambda_i y_i. Vou aplicar isso.)

Passo 3

Calcular P^{-1} (passo técnico importante e necessário). Primeiro o determinante de P:
\det(P)=1\cdot1-(-1)\cdot1=1+1=2.
A matriz adjunta (matriz de cofatores transposta) de P é
\operatorname{adj}(P)=\begin{bmatrix}1 & 1\\[4pt]-1 & 1\end{bmatrix}.
Logo
P^{-1}=\frac{1}{\det(P)}\operatorname{adj}(P)=\frac{1}{2}\begin{bmatrix}1 & 1\\[4pt]-1 & 1\end{bmatrix}.
Verificação rápida (opcional): multiplicando P P^{-1} obtém-se a identidade I_2.]

Passo 4

Fazer a mudança de variáveis y(t)=P^{-1}x(t). Derivando,
y'(t)=P^{-1}x'(t)=P^{-1}A x(t)=P^{-1}PDP^{-1}x(t)=D\big(P^{-1}x(t)\big)=D y(t).
Portanto o sistema transformado é
\frac{d}{dt}y(t)=D\,y(t).
Como D é diagonal com entradas 2 e 0, escrevendo y(t)=\begin{bmatrix}y_1(t)\\[4pt]y_2(t)\end{bmatrix} obtemos duas equações desacopladas:
y_1'(t)=2\,y_1(t),\qquad y_2'(t)=0\cdot y_2(t)=0.]

Passo 5

Resolver as equações escalares (passo de ODE elementar). A equação y_1'=2y_1 é equação linear homogênea de primeira ordem com solução
y_1(t)=c_1 e^{2t},
onde c_1 é constante arbitrária (determinado por condição inicial). A equação y_2'=0 y_2(t)=c_2, constante arbitrária. Assim
y(t)=\begin{bmatrix}c_1 e^{2t}\\[4pt]c_2\end{bmatrix},
com c_1,c_2\in\mathbb{R} (constantes).]

Passo 6

Voltar à variável original: x(t)=P\,y(t). Multiplicando explicitamente,
x(t)=P\begin{bmatrix}c_1 e^{2t}\\[4pt]c_2\end{bmatrix} =c_1 e^{2t}\begin{bmatrix}1\\[4pt]1\end{bmatrix}+c_2\begin{bmatrix}-1\\[4pt]1\end{bmatrix}.
Aqui usei que as colunas de P são \begin{bmatrix}1\\[4pt]1\end{bmatrix} (autovetor associado a autovalor 2) e \begin{bmatrix}-1\\[4pt]1\end{bmatrix} (autovetor associado a autovalor 0). Portanto a forma encontrada coincide exatamente com a solução apresentada.]

Passo 7

Observações pedagógicas e como obter c_1,c_2 a partir de uma condição inicial: se for dado x(0)=x_0, então
x(0)=P\begin{bmatrix}c_1\\[4pt]c_2\end{bmatrix}=x_0
e portanto
\begin{bmatrix}c_1\\[4pt]c_2\end{bmatrix}=P^{-1}x_0.
Exemplo rápido: se x(0)=\begin{bmatrix}a\\[4pt]b\end{bmatrix}, então usando P^{-1}=\frac{1}{2}\begin{bmatrix}1 & 1\\[4pt]-1 & 1\end{bmatrix} obtemos
\begin{bmatrix}c_1\\[4pt]c_2\end{bmatrix}=\frac{1}{2}\begin{bmatrix}a+b\\[4pt]-a+b\end{bmatrix},
ou seja c_1=\tfrac{a+b}{2}, c_2=\tfrac{-a+b}{2}.]

Passo 8

Comentário sobre matriz exponencial (conexão alternativa): outra forma de ver é x(t)=e^{At}x(0) e, como A=PDP^{-1},
e^{At}=P e^{Dt}P^{-1},
com
e^{Dt}=\begin{bmatrix}e^{2t} & 0\\[4pt]0 & e^{0t}\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}e^{2t} & 0\\[4pt]0 & 1\end{bmatrix}.
Aplicando e^{At} a um vetor x(0)=P\begin{bmatrix}c_1\\[4pt]c_2\end{bmatrix} recupera-se a mesma expressão para x(t) obtida acima.]

Resposta

\begin{bmatrix} x_{1}(t)\\[4pt] x_{2}(t) \end{bmatrix} = c_{1} e^{2 t}\begin{bmatrix}1\\[4pt]1\end{bmatrix} + c_{2}\begin{bmatrix}-1\\[4pt]1\end{bmatrix}]

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