As matrizes P=\left[\begin{array}{cc}1 & -1 \\\\ 1 & 1\end{array}\right] e D=\left[\begin{array}{ll}2 & 0 \\\\ 0 & 0\end{array}\right] são tais que A=P D P^{-1}.
e queremos justificar passo a passo por que essa é de fato a solução geral.]
Passo 2
Ideia do método (sem cálculos ainda): quando A é diagonalizável na forma A=PDP^{-1}, uma transformação de variáveis y(t)=P^{-1}x(t) transforma o sistema acoplado \,x'=Ax\,$ num sistema diagonal e separado \(\,y'=Dy. Sistemas com matriz diagonal são fáceis: cada componente satisfaz uma equação escalar do tipo y_i'=\lambda_i y_i. Vou aplicar isso.)
Passo 3
Calcular P^{-1} (passo técnico importante e necessário). Primeiro o determinante de P:
\det(P)=1\cdot1-(-1)\cdot1=1+1=2.
A matriz adjunta (matriz de cofatores transposta) de P é
Aqui usei que as colunas de P são \begin{bmatrix}1\\[4pt]1\end{bmatrix} (autovetor associado a autovalor 2) e \begin{bmatrix}-1\\[4pt]1\end{bmatrix} (autovetor associado a autovalor 0). Portanto a forma encontrada coincide exatamente com a solução apresentada.]
Passo 7
Observações pedagógicas e como obter c_1,c_2 a partir de uma condição inicial: se for dado x(0)=x_0, então