As matrizes P=\left[\begin{array}{cc}-1 & 1 \\\\ 1 & -2\end{array}\right] e D=\left[\begin{array}{ll}2 & 0 \\\\ 0 & 3\end{array}\right] são tais que A=P D P^{-1}.
Fazer a mudança de variáveis que diagonaliza o sistema. Defina \,x(t)=P\,y(t)\,. Como P é constante, a derivada é \,x'(t)=P\,y'(t). Substituindo no sistema original \,x'=A x\, dá
P\,y'(t)=A\,P\,y(t).
Usando A P = P D chega-se a
P\,y'(t)=P\,D\,y(t).
Multiplicando à esquerda por P^{-1} (que existe porque P diagonaliza A) obtemos o sistema decouplado
y'(t)=D\,y(t).
Passo 4
Resolver o sistema decouplado y'(t)=D y(t). Como D é diagonal com entradas 2 e 3, escrevemos y(t)=\begin{pmatrix}y_1(t)\\[4pt]y_2(t)\end{pmatrix}. O sistema separa em duas EDOs escalares:
y_1'(t)=2\,y_1(t),\qquad y_2'(t)=3\,y_2(t).
Cada equação é do tipo \,z'=\lambda z\,, cuja solução geral é \,z(t)=C e^{\lambda t}\,. Portanto
y_1(t)=c_1 e^{2t},\qquad y_2(t)=c_2 e^{3t},
onde c_1,c_2 são constantes arbitrárias (determindas por condições iniciais).]
Passo 5
Voltar à variável original x. Como x(t)=P\,y(t) e y(t)=\begin{pmatrix}c_1 e^{2t}\\[4pt]c_2 e^{3t}\end{pmatrix}, temos
x(t)=c_1 e^{2t}\,p_1 + c_2 e^{3t}\,p_2.
Substituindo os autovetores p_1 e p_2 obtemos exatamente