Para as matrizes a seguir, calcule o determinante:
A=\left(\begin{array}{ccc}3 & 3 & 1 \\\\ 1 & 0 & -4 \\\\ 1 & -3 & 5\end{array}\right)

Passo 1

O enunciado pede o determinante da matriz A. As informações dadas são exatamente os elementos da matriz:
A=\begin{pmatrix} 3 & 3 & 1\\[4pt] 1 & 0 & -4\\[4pt] 1 & -3 & 5 \end{pmatrix}
A tarefa é calcular \det(A).]

Passo 2

Vou ensinar um método prático para matrizes 3\times3: a regra de Sarrus. Antes, o que é o determinante? De forma intuitiva, para uma matriz 3\times3 o determinante é um número associado que, entre outras coisas, indica se a matriz é invertível (se o determinante for diferente de zero) e muda sinal se trocamos duas linhas. A regra de Sarrus fornece uma forma direta de calcular esse número para 3\times3.
Sejam os elementos de uma matriz geral
M=\begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13}\\[4pt] a_{21} & a_{22} & a_{23}\\[4pt] a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{pmatrix}.
A regra de Sarrus diz:
\det(M)=\bigl(a_{11}a_{22}a_{33}+a_{12}a_{23}a_{31}+a_{13}a_{21}a_{32}\bigr) -\bigl(a_{13}a_{22}a_{31}+a_{11}a_{23}a_{32}+a_{12}a_{21}a_{33}\bigr).
Aqui cada termo do primeiro parêntese corresponde ao produto de entradas em diagonais que descem para a direita; cada termo do segundo parêntese corresponde a diagonais que sobem para a direita. Vou aplicar exatamente essa fórmula à matriz A.]

Passo 3

Identifico os elementos de A com os a_{ij}:
a_{11}=3,\quad a_{12}=3,\quad a_{13}=1,
a_{21}=1,\quad a_{22}=0,\quad a_{23}=-4,
a_{31}=1,\quad a_{32}=-3,\quad a_{33}=5.
Substituirei esses valores na fórmula de Sarrus passo a passo.

Passo 4

Calculo os três produtos do primeiro parêntese (diagonais descendentes):
a_{11}a_{22}a_{33}=3\cdot 0\cdot 5=0,
a_{12}a_{23}a_{31}=3\cdot(-4)\cdot 1= -12,
a_{13}a_{21}a_{32}=1\cdot 1\cdot(-3)= -3.
Agora somo esses três resultados:
\text{soma\_positiva}=0 + (-12) + (-3)= -15.

Passo 5

Calculo os três produtos do segundo parêntese (diagonais ascendentes):
a_{13}a_{22}a_{31}=1\cdot 0\cdot 1=0,
a_{11}a_{23}a_{32}=3\cdot(-4)\cdot(-3)=3\cdot 12=36,
a_{12}a_{21}a_{33}=3\cdot 1\cdot 5=15.
Agora somo esses três resultados:
\text{soma\_negativa}=0 + 36 + 15 = 51.

Passo 6

Aplico a fórmula final (soma dos descendentes menos soma dos ascendentes):
\det(A)=\text{soma\_positiva}-\text{soma\_negativa}=(-15)-51=-66.

Passo 7

Para ter certeza e mostrar outro jeito (útil na prova quando quiser checar), faço uma expansão por cofatores pela primeira linha; a fórmula é
\det(A)=a_{11}C_{11}+a_{12}C_{12}+a_{13}C_{13},
onde C_{1j}=(-1)^{1+j}\det(M_{1j}) e M_{1j} é a submatriz obtida removendo a linha 1 e coluna j.
Calculo cada cofator:
\det\begin{pmatrix}0 & -4\\[2pt]-3 & 5\end{pmatrix}=0\cdot5-(-4)(-3)=0-12=-12,
então a_{11}C_{11}=3\cdot(-12)=-36.
\det\begin{pmatrix}1 & -4\\[2pt]1 & 5\end{pmatrix}=1\cdot5-(-4)\cdot1=5+4=9,
o cofator tem sinal negativo, então a_{12}C_{12}= -3\cdot 9 = -27.
\det\begin{pmatrix}1 & 0\\[2pt]1 & -3\end{pmatrix}=1\cdot(-3)-0\cdot1=-3,
então a_{13}C_{13}=1\cdot(-3)=-3.
Somando: -36)+(-27)+(-3)=-66, mesmo resultado — bom sinal de que não errei.]

Resposta

-66

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